1、用matlab软件证明c3v群的群元素是具有封闭性的。
c3v > e=sym('[1 0 0;0 1 0;0 0 1]')e =
> c31=sym('[1/2,-sqrt(3)/2,0;sqrt(3)/2,-1/2,0;0,0,1]')
c31 = -1/2, -sqrt(3)/20]
sqrt(3)/2, -1/20]
> c32=sym('[1/2,sqrt(3)/2,0;-sqrt(3)/2,-1/2,0;0,0,1]')
c32 = -1/2, sqrt(3)/20]
-sqrt(3)/2, -1/20]
> s1=sym('[1,0,0;0,-1,0;0,0,1]')s1 =
> s2=sym('[1/2,sqrt(3)/2,0;sqrt(3)/2,1/2,0;0,0,1]')
s2 = -1/2, sqrt(3)/20]
sqrt(3)/2, 1/20]
> s3=sym('[1/2,-sqrt(3)/2,0;-sqrt(3)/2,1/2,0;0,0,1]')
s3 = -1/2, -sqrt(3)/20]
-sqrt(3)/2, 1/20]
1)证明e*e=e
> e*e ans =
所以e*e=e
2）证明e*c31 = c31
> e*c31ans =
所以e*c31 = c31
3）证明c31*c31 = c32
> c31*c31ans =
所以c31*c31 = c32
4）证明c31*c32 = e
> c31*c32ans =
所以c31*c32 = e
5）证明s1*c32 = s2
> s1*c32ans =
所以s1*c32 = s2
6)证明s1*s1 = e
> s1*s1ans =
所以s1*s1 = e
7)证明s1*s2 = c32
> s1*s2ans =
所以s1*s2 = c32
8）同理证明其他各项，如下：
所以，c3v群的群元素是具有封闭性的。
2、已知一维势箱基态和第一激发态波函数为：，计算两种状态下粒子出现在0.49l到0.51l内的概率。
解：(1) 基态时，粒子出现在0.49l到0.51l内的概率 p1：
计算基态情形。
> syms x l,int(2/l*sin(pi*x/l)^2,0.49*l,0.51*l)
ans =1/50*(100*cos(49/100*pi)*sin(49/100*pi)+pi)/pi
> p1=1/50*(100*cos(49/100*pi)*sin(49/100*pi)+pi)/pi p1 =
2) 激发态时，粒子出现在0.49l到0.51l内的概率p2：
计算第一激发态情形。
> syms x l,int(2/l*sin(2*pi*x/l)^2,0.49*l,0.51*l)
ans =1/50*(50*cos(1/50*pi)*sin(1/50*pi)-pi)/pi
> -1/50*(50*cos(1/50*pi)*sin(1/50*pi)-pi)/pi
ans =5.2596e-005
3、证明一维势箱粒子运动波函数ψn=
证明：归一化证明。
> syms x l n,int(2/l*sin(n*pi*x/l)^2,0,l)
ans =-cos(n*pi)*sin(n*pi)+n*pi)/n/pi
因n为正整数，所以 ans=1
> syms x l m,int(2/l*sin(n*pi*x)*sin(m*pi*x/l),0,1)
ans =2*(n*l*cos(n*pi)*sin(m*pi/l)-m*sin(n*pi)*cos(m*pi/l))/pi/(n^2*l^2-m^2)
因n为正整数，所以 ans=0
4、求解微分方程组，的通解。
解：（1）>>x,y]=dsolve('dx=y,dy=-x')
x =c1*cos(t)+c2*sin(t)
y =c1*sin(t)+c2*cos(t)
2）>>r=dsolve('dx=y,dy=-x'),x=
r = x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
x =c1*cos(t)+c2*sin(t)
y =c1*sin(t)+c2*cos(t)
5、求解两点边值得问题：xy’’-2y’=x2, y(1)=0,y(2)=5。
解：>>y=dsolve('x*d2y-2*dy=x^2','y(1)=0','y(2)=5','x')
y =1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3+1/3*(52/21-8/7*log(2))*x^3-5/7+8/21*log(2)
6、用双条件分支语句if-else-end语句编写用蒙特卡罗方法计算π。
1）输入语句：
l=1;d=2;
m=0;n=input('n=')
for k=1:n
x=unifrnd(0,d/2);
y=unifrnd(0,pi);
if x<0.5*l*sin(y)
m=m+1;
elseend
endp=m/n
pi_m=1/p
2）运行10次，每次输入n=100000n =
p =pi_m =
n =p =pi_m =
n =p =pi_m =
n=100000n =
p =pi_m =
n=100000n =
p =pi_m =
n=100000n =
p =pi_m =
n=100000n =
p =pi_m =
n=100000n =
p =pi_m =
n=100000n =
p =pi_m =
n=100000n =
p =pi_m =
n=100000n =
p =pi_m =
7、用休克尔方法，求丁二烯分子的能量本征值和本征态。
> a=[0 1 0 0;1 0 1 0;0 1 0 1;0 0 1 0]
la=eig(a)
v,d]=eig(a)a =
la =v =
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