一、选择题。
1．在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若c＝4，a＝4，a＝45°，则sin c等于( )
a. b.
c. d.
答案 a解析由正弦定理得sin c＝c·＝4×＝.
2．函数y＝的定义域为( )
a．(－4，－1) b．(－4,1)
c．(－1,1) d．(－1,1]
答案 c解析由题－1＜x＜1.
3．已知等差数列的前n项和为sn，若s1＝1，＝4，则的值为( )
a. b.
c. d．4
答案 c解析设公差为d，则s4＝4a1＋6d，s2＝2a1＋d，结合s4＝4s2得d＝2，s4＝16，s6＝36，∴＝
4．已知在△abc中，sin a∶sin b∶sin c＝3∶2∶4，那么cos c的值为( )
a．－ b.
c．－ d.
答案 a解析由题意知，sin a∶sin b∶sin c＝a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3k，b＝2k，c＝4k，cos c＝＝＝
5．已知等差数列的前n项和为18，若s3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n等于( )
a．9 b．21
c．27 d．36
答案 c解析 s3＋an＋an－1＋an－2＝4＝3(a1＋an)，a1＋an＝，又sn＝＝＝18，n＝27.
6．已知点p(x，y)满足条件则z＝x－3y的最小值为( )
a．9 b．－6 c．－9 d．6
答案 b解析作出可行域如图所示的阴影部分．
由目标函数z＝x－3y得：y＝x－，－为直线在y轴上的截距．
平移直线l0：y＝x，当直线经过点a时，z取得最小值．
∴∴a(3,3)．
zmin＝3－3×3＝－6.
7.如图，一轮船从a点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛b，又从b沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛c，若此轮船从a点直接沿直线行驶至海岛c，则此船沿___方向行驶___海里至海岛c( )
a．北偏东60°；10
b．北偏东40°；10
c．北偏东30°；10
d．北偏东20°；10
答案 b解析由已知得在△abc中，∠abc＝180°－70°＋10°＝120°，ab＝bc＝10，故∠bac＝30°，所以从a到c的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得ac2＝ab2＋bc2－2ab·bccos∠abc＝102＋102－2×10×10＝300，所以ac＝10.
8．当x＞0时，不等式x2－mx＋9＞0恒成立，则实数m的取值范围是( )
a．(－6) b．(－6]
c．[6d．(6，＋∞
答案 a解析由题意得：当x＞0时，mx＜x2＋9，即m＜x＋恒成立．设函数f(x)＝x＋(x＞0)，则有x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立．则实数m的取值范围是m＜6.
9．设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a，b＞0)的最大值为8，则a＋b的最小值为( )
a．2 b．4
c．6 d．8
答案 b解析原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z＝abx＋y(a＞0，b＞0)过直线2x－y＋2＝0与直线8x－y－4＝0的交点(1,4)时，目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)取得最大值8，即8＝ab＋4，即ab＝4，所以a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．所以a＋b的最小值为4.
10．在各项均为正数的等比数列中，公比q∈(0,1)．若a3＋a5＝5，a2·a6＝4，bn＝log2an，数列的前n项和为sn，则当＋＋…取最大值时，n的值为( )
a．8 b．9
c．8或9 d．17
答案 c解析 ∵a2·a6＝a3·a5＝4，且a3＋a5＝5，a3，a5是方程x2－5x＋4＝0的两个根．
又∵等比数列各项均为正数且q∈(0,1)，a3＝4，a5＝1.
q2＝＝，q＝.
an＝4·n－3，∴bn＝log2an＝5－n.
sn＝，∴tn＝＋＋n2＋17n)
当n＝8或9时，tn取得最大值．
二、填空题。
11．在△abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则的值为___
答案 解析 ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
又∵c2－a2＝bc－ac，∴b2＋c2－a2＝bc.
在△abc中，由余弦定理得cos a＝＝，a＝60°.
由正弦定理得＝，∴sin b＝.
12．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3有解，则实数a的取值范围为。
答案 (－6]∪[2，＋∞
解析由题意知，只需y＝x2－ax－a的最小值不大于－3即可．
即≤－3，解得a≤－6或a≥2.
13．已知数列满足：a1＝1，－＝1，则使an＜25成立的n的最大值为___
答案 4解析易知{}为等差数列，首项为＝1，公差为1，＝1＋(n－1)＝n，an＝n2，令n2＜25，∴n＜5，∴n≤4.
14．已知△abc的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则△abc的面积为___
答案 15解析不妨设a＝120°，c＜b，则a为最长边，故a＝b＋4，c＝b－4，由余弦定理，得。
a2＝b2＋c2－2bccos a，即。
b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)cos 120°，化简得b2－10b＝0，b＝10或b＝0(舍去)，c＝6，s△abc＝bcsin a＝15.
15．已知数列满足：a1＝1，an＋1＝，若bn＋1＝(n－λ)1)(n∈n*)，b1＝－λ且数列为单调递增数列，则实数λ的取值范围为___
答案 (－2)
解析由题意得，＝＝1＋，＋1＝2，又＋1＝2≠0，是以2为首项，2为公比的等比数列，＋1＝2n，bn＋1＝(n－λ)2n(n≥1)，又b1＝－λbn＝(n－1－λ)2n－1(n≥1)，又单调递增，bn＋1＞bn，则有(n－λ)2n＞(n－1－λ)2n－1，λ＜n＋1对任意n∈n*恒成立，λ＜2.
三、解答题。
16．在△abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)cos b＝bcos c.
1)求内角b的大小；
2)设m＝(sin a，cos 2a)，n＝(4k,1)(k＞1)，m·n的最大值为5，求k的值．
解 (1)由正弦定理及(2a－c)cos b＝bcos c，得(2sin a－sin c)cos b＝sin bcos c，整理得2sin acos b＝sin bcos c＋sin ccos b＝sin(b＋c)＝sin a，因为a∈(0，π)所以sin a≠0，故cos b＝，所以b＝.
2)m·n＝4ksin a＋cos 2a＝－2sin2a＋4ksin a＋1，其中a∈，设sin a＝t，t∈(0,1]，则。
m·n＝－2t2＋4kt＋1＝－2(t－k)2＋1＋2k2.
又k＞1，故当t＝1时，m·n取得最大值．
由题意得－2＋4k＋1＝5，解得k＝.
17．已知数列的前n项和为sn＝2n＋2－4.
1)求数列的通项公式；
2)设bn＝an·log2an，求数列的前n项和tn.
解 (1)因为sn＝2n＋2－4，所以a1＝s1＝4，n≥2时，an＝sn－sn－1＝2n＋2－4－(2n＋1－4)＝2n＋1，显然a1也符合该表达式．所以an＝2n＋1.
2)因为bn＝an·log2an＝(n＋1)·2n＋1，所以tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①
2tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2，②
－①得，tn＝－2·22－23－24－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
－23－＋(n＋1)·2n＋2
－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2
(n＋1)·2n＋2－23·2n－1＝n·2n＋2.
18．甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨，750吨．a、b、c三地需要该产品数量分别为200吨、450吨、400吨，甲地运往a、b、c三地的费用分别为6元/吨、3元/吨、5元/吨，乙地运往a、b、c三地的费用分别为5元/吨、9元/吨、6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？
解设从甲到a调运x吨，从甲到b调运y吨，从甲到c调运(300－x－y)吨，则从乙到a调运(200－x)吨，从乙到b调运(450－y)吨，从乙到c调运(100＋x＋y)吨，设调运的总费用为z元，则z＝6x＋3y＋5(300－x－y)＋5(200－x)＋9(450－y)＋6(100＋x＋y)＝2x－5y＋7 150.
由已知得约束条件为。
整理得。画可行域并平移直线2x－5y＝0可得最优解为x＝0，y＝300.
即从甲到b调运300吨，从乙到a调运200吨，从乙到b调运150吨，从乙到c调运400吨，总运费最小．
19．某厂家拟举行**活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年**费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞**活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售**定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
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