2024年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
选择题部分（共50分）
一、选择题：每小题5分，共50分．
1．已知i是虚数单位，则(1+i)(2i)=
a．3+i b．1+3i c．3+3i d．1+i
命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题。
答案解析】b
2．设集合s=，t=，则(rs)∪t=
a．(2，1] b．(∞4] c．(∞1] d．[1，+∞
命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题。
答案解析】c 因为(rs)=，t=，所以(rs)∪t=(∞1].
3．已知x，y为正实数，则。
a．2lgx+lgy=2lgx+2lgy b．2lg(x+y)=2lgx 2lgy
c．2lgx lgy=2lgx+2lgy d．2lg(xy)=2lgx 2lgy
命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题。
答案解析】d 由指数和对数的运算法则，易知选项d正确。
4．已知函数f(x)=acos(ωx+φ)a>0，ω>0，φr)，则“f(x)是奇函数”是“φ=的。
a．充分不必要条件
b．必要不充分条件。
c．充分必要条件
d．既不充分也不必要条件。
命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题。
答案解析】b 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=+kπ，kz，所以选项b正确。
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则。
a．a=4 b．a=5
c．a=6 d．a=7
命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题。
答案解析】a
6．已知αr，sin α+2cos α=则tan2α=
a． b．
c． d．命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题。
答案解析】c 由(sin α+2cos α)2=可得=，进一步整理可得3tan2α8tan α3=0，解得tan α=3或tan α=于是tan2α==
7．设△abc，p0是边ab上一定点，满足p0b=ab，且对于ab上任一点p，恒有≥，则。
a．abc=90 b．bac=90 c．ab=ac d．ac=bc
命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题。
答案解析】d 由题意，设||=4，则||=1，过点c作ab的垂线，垂足为h，在ab上任取一点p，设hp0=a，则由数量积的几何意义可得a+1a，于是≥恒成立，相当于((a+1))|a恒成立，整理得||2(a+1)| a≥0恒成立，只需=(a+1)24a=(a1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到hb=2，即h是ab的中点，故△abc是等腰三角形，所以ac=bc
8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex1)(x1)k(k=1，2)，则。
a．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值。
b．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值。
c．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值。
d．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值。
命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题。
答案解析】c 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项a，b错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项c正确。
9．如图，f1，f2是椭圆c1：与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第。
二、四象限的公共点．若四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率为。
a． b．c． d．
命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质，属于中档题。
答案解析】d 由题意，c=，|af2|+|af1|=4……①af2||af1|=2a……②得|af2|=2+a，①②得|af1|=2a，又|af1|2+|af2|2=| f1f2|2，所以a=，于是e==.
10．在空间中，过点a作平面π的垂线，垂足为b，记b=fπ(a)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点p，q1=fβ[fα(p)]，q2=fα[fβ(p)]，恒有 pq1= pq2，则。
a．平面α与平面β垂直 b．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45
c．平面α与平面β平行 d．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60
命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题。
答案解析】a 用特殊法立即可知选项a正确。
非选择题部分（共100分）
二、填空题：每小题4分，共28分．
11．设二项式的展开式中常数项为a，则a
【命题意图】考查二项式定理，属于容易题。
【答案解析】10
12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的
体积等于 cm3．
【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题。
【答案解析】24 由题意，该几何体为一个直三棱柱截去一个
三棱锥所得。
13．设z=kx+y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k= ．
【命题意图】本题考查线性规划，属于容易题。
【答案解析】2 作出平面区域即可。
14．将a，b，c，d，e，f六个字母排成一排，且a，b均在c的同侧，则不同的排法有种（用数字作答）．
【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题。
【答案解析】480 第一类，字母c排在左边第一个位置，有a种；第二类，字母c排在左边第二个位置，有aa种；第三类，字母c排在左边第三个位置，有aa+ aa种，由对称性可知共有2( a+ aa+ aa+ aa)=480种。
15．设f为抛物线c：y2=4x的焦点，过点f(1，0)的直线l交抛物线c于a，b两点，点q为线段ab的中点．若|fq|=2，则直线l的斜率等于 ．
命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题。
答案解析】±1 设直线l的方程为y=k(x+1)，联立消去y得k2x2+(2k24)x+k2=0，由韦达定理，xa+ xb =，于是xq==，把xq带入y=k(x+1)，得到yq=，根据|fq|=，解出k=±1．
16．在△abc，c=90，m是bc的中点．若sinbam=，则sinbac
命题意图】本题考查解三角形，属于中档题。
答案解析】 设bc=2a，ac=b，则am=，ab=，sinabm= sinabc==，在△abm中，由正弦定理=，即=，解得2a2=b2，于是sinbac===
17．设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，yr．若e1，e2的夹角为，则的最大值等于 ．
【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题，属于较难题。
【答案解析】2 ==所以的最大值为2
三、解答题：本大题共5小题，共72分．
18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列。
（ⅰ）求d，an；
ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…an|．
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。
【答案解析】
ⅰ）由题意。
5a3 a1=(2a2+2)2，即。
d23d4=0．
故。d=1或d=4．
所以。an=n+11，nn*或an=4n+6，nn*
ⅱ）设数列的前n项和为sn．因为d<0，由（ⅰ）得d=1，an=n+11．则。
当n11时，a1|+|a2|+|a3|+…an|=sn=n2+n
当n12时，a1|+|a2|+|a3|+…an|=sn+2s11=n2n+110
综上所述，a1|+|a2|+|a3|+…an|=
19．（本题满分14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若 eη=，dη=，求a∶b∶c．
【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
【答案解析】
（ⅰ）由题意得。
故。p(ξ=2)= p(ξ=3)= p(ξ=4)= p(ξ=5)= p(ξ=6)= 所以ξ的分布列为。
ⅱ）由题意知η的分布列为。
所以。eη=+
dη=+化简得。
解得a=3c，b=2c，故。
a∶b∶c=3∶2∶1
20．（本题满分15分）如图，在四面体abcd中，ad平面bcd，bccd，ad=2，bd=2．m是ad的中点，p是bm的中点，点q**段ac上，且aq=3qc．
ⅰ）证明：pq∥平面bcd；
ⅱ）若二面角cbmd的大小为60，求bdc的大小．
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【答案解析】
ⅰ）取bd的中点o，**段cd上取点f，使得df=3fc，连接op，of，fq．
因为aq=3qc，所以。
qf∥ad，且qf=ad
因为o，p分别为bd，bm的中点，所以op是△bdm的中位线，所以。
op∥dm，且op=dm
又点m是ad的中点，所以。
op∥ad，且op=ad
从而。op∥fq，且op=fq
所以四边形opqf是平行四边形，故。
pq∥of又pq平面bcd，of平面bcd，所以。
pq∥平面bcd．
（ⅱ）作cgbd于点g，作ghbm于点hg，连接ch，则chbm，所以chg为二面角的平面角。设bdc=θ．
2024年浙江高考数学试题 理科
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2024年浙江高考理科数学试题
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