2024年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
文科数学（必修+选修ⅰ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1．等于（ ）
a． b． c． d．
2．已知全集，集合，，则集合（ ）
abcd．3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
a．30 b．25 c．20 d．15
4．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）
a．64 b．100 c．110 d．120
5．直线与圆相切，则实数等于（ ）
a．或 b．或 c．或 d．或。
6．“”是“对任意的正数，”的（ ）
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件。
c．充要条件d．既不充分也不必要条件。
7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ）
a．10 b．4 c．1 d．
8．长方体的各顶点都在半径为1的球面上，其中， 则两点的球面距离为( )
a． b． c． d．
9．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
a． b． c． d．
10．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ ）
a． b．
c． d．11．定义在上的函数满足（），则等于（ ）
a．2 b．3 c．6 d．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
a．11010 b．01100 c．10111 d．00011
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
13．的内角的对边分别为，若，则 ．
14．的展开式中的系数为 ．(用数字作答)
15．关于平面向量．有下列三个命题：
若，则．②若，，则．
非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
已知函数．ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
18．（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回。
ⅰ）连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；
ⅱ）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．
19．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，为中点．
ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知数列的首项，，…
ⅰ）证明：数列是等比数列；
ⅱ）数列的前项和．
21．（本小题满分12分）
已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．本小题满分14分）
设函数其中实数．
ⅰ）若，求函数的单调区间；
ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；
ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．
参***及评分标准。
一、 选择题。
1．b 2．d 3．c 4．b 5．a 6．a 7．d 8．c 9．b 10．d 11．a 12．c
二、填空题。
三、解答题。
17．解：（ⅰ
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
ⅱ）由（ⅰ）知．又．
函数是偶函数．
18．解：（ⅰ从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率。
ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为。
解法一：（ⅰ平面平面，．
在中，，d为bc中点，bc⊥ad，又。
bc⊥平面a1ad，又。
平面平面．ⅱ）如图，作交于点，连接，由已知得平面．
是在面内的射影．
由三垂线定理知，为二面角的平面角．
过作交于点，则，在中，．
在中，．即二面角为．
解法二：（ⅰ如图，建立空间直角坐标系，则，d为bc的中点，∴d点的坐标为（1，1，0），又，平面，又平面，平面平面．
ⅱ）∵平面，如图，可取为平面的法向量，设平面bc的法向量为，则，如图，可取，则，二面角为．
20．解：（ⅰ又，数列是以为首项，为公比的等比数列．
ⅱ）由（ⅰ）知，即，．
设…， 则…，②
由①②得。…，．又…．
数列的前项和 ．
21. 解法一：（ⅰ如图，设，，把代入得，由韦达定理得，点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，．
即．ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，由（ⅰ）知。轴，．又。
解得．即存在，使．
解法二：（ⅰ如图，设，把代入得。
由韦达定理得．
点的坐标为．，抛物线在点处的切线的斜率为，．
ⅱ）假设存在实数，使．
由（ⅰ）知，则，解得．
即存在，使．
22．解：（ⅰ又，当时，；当时，在和内是增函数，在内是减函数．
ⅱ）由题意知 ，即恰有一根（含重根）． 即≤≤，又， ．
当时，才存在最小值，．∵的值域为．
ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．
由题意得，解得≥；
当时，在和内是增函数，在内是增函数．
由题意得，解得≤；
综上可知，实数的取值范围为．
2024年高考文科数学试题 陕西卷
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