2024年数学二试题分析、详解和评注。
分析解答所用参考书：1.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学经典讲义（理工类）》，简称经典讲义（人大社出版）.
2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学历年真题题型解析》，简称真题（人大社出版）. 3.
黄先开、曹显兵教授在2006强化辅导班上的讲稿。
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分。 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1)当时，与等价的无穷小量是。
a) .b). c). d
答案】 应选(b).
分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案。
详解】当时，有；；
利用排除法知应选(b).
评注】 本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上，完全类似例题见《经典讲义》p.28例1.
63, 例1.64, 例1.65及辅导班讲义例1.
6.(2) 函数在上的第一类间断点是x =
a) 0. (b) 1. (cd
分析】 本题f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。
详解】 f(x)在上的无定义点，即间断点为x =0,1,
又 ，可见x=0为第一类间断点，因此应选(a).
评注】本题尽管可计算出，从而均为第二类间断点，但根据四个选项的答案，已经确定x=0为第一类间断点后，后面三个极限问题事实上没必要再计算。
完全类似例题见《经典讲义》p.30例1.69, p.32例1.72及辅导班讲义例1.11.
3)如图，连续函数y=f(x)在区间[3，2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设则下列结论正确的是。
ab). cd
答案】 应选(c).
分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
详解】 根据定积分的几何意义，知f(2)为半径是1的半圆面积：，f(3)是两个半圆面积之差： =因此应选(c).
评注1】 本题f(x)由积分所定义，应注意其下限为0，因此。
也为半径是1的半圆面积。可知(a) (b) (d)均不成立。
评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。
完全类似例题见《经典讲义》p.152例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12
4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：
a) 若存在，则f(0)=0b) 若存在，则f(0)=0.
(c) 若存在，则存在。 (d) 若存在，则存在。
答案】 应选(d).
分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
详解】(a),(b)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.
若存在，则，可见(c)也正确，故应选(d). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且。
存在，但在x=0处不可导。
重要知识点提示见《经典讲义》p.39，完全类似例题见p.41例2.1, p.42例2.6及p.60习题2及辅导班讲义例2.5.
5)曲线，渐近线的条数为。
a) 0b) 1c) 2d) 3
答案】 应选(d).
分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
详解】 因为，所以为垂直渐近线；
又，所以y=0为水平渐近线；
进一步， =
于是有斜渐近线：y = x. 故应选(d).
【评注】 一般来说，有水平渐近线(即)就不再考虑斜渐近线，但当不存在时，就要分别讨论和两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x<0 的一侧有水平渐近线，而在x>0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数当时极限不存在，必须分和进行讨论。
重点提示见《经典讲义》p.145，类似例题见p.150例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8.
6) 设函数f (x)在上具有二阶导数，且令，
则下列结论正确的是：
a) 若，则必收敛b) 若，则必发散。
(c) 若，则必收敛。 (d) 若，则必发散。
答案】 应选(d).
分析】 利用反例通过排除法进行讨论。
详解】 设f (x)=,则f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(c); 设f(x)=,则f (x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(b); 又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(a). 故应选(d).
评注】也可直接证明(d)为正确选项。 若，则存在，使得。 在区间上应用拉格朗日中值定理， 存在使得，又因为在上因此在上单调增加，于是对有。
在区间上应用拉格朗日中值定理， 存在使得，即。
故应选(d).
重要提示与例题见《经典讲义》p.19例1.40, 例1.41、《真题（二）p.80题2》及辅导班讲义例1.12
7) 二元函数f(x, y)在点(0，0) 处可微的一个充分条件是。
a). (b)，且。
c). d) ，且。 【
答案】 应选(c).
详解】 选项(a)相当于已知f(x, y)在点(0,0)处连续，选项(b)相当于已知两个一阶偏导数存在，因此(a),(b) 均不能保证f(x, y)在点（0，0）处可微。
选项(d)相当于已知两个一阶偏导数存在，但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0) 处连续，因此也不能保证f(x, y)在点 (0，0) 处可微。
若，则。即同理有。从而
根据可微的定义，知函数f(x, y) 在(0，0) 处可微，故应选(c).
几乎原题见《经典讲义》p.182例9.2，本题难度较大，概念性强。
8) 设函数f(x, y)连续，则二次积分等于。
a). b).
c). d答案】 应选(b).
分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。
详解】 积分区域 d:, 也可表示为。
d:,故 =，应选(b).
评注】 确定y的取值范围时应注意：当时，y=sinx=, 于是，从而。
完全类似例题见《经典讲义》p.208例10.13, 例10.14,例10.15及辅导班讲义例10.9
9) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是。
(a). b).
(c). d).
答案】应选(a) .
详解1】直接可看出(a)中3个向量组有关系。
即(a)中3个向量组有线性相关， 所以选(a) .
详解2】用定义进行判定：令。
得 .因线性无关，所以
又。故上述齐次线性方程组有非零解， 即线性相关。 类似可得(b), c), d)中的向量组都是线性无关的。
这是一个基本题，完全类似的问题见《经典讲义》p.314例3.5和辅导班上对应章节的例题。
10) 设矩阵， ,则a与b
(a)合同， 且相似b) 合同， 但不相似 .
(c)不合同， 但相似。 (d) 既不合同， 又不相似。
答案】应选 (b) .
详解】 由得a的特征值为0, 3, 3, 而b的特征值为0, 1, 1，从而a与b不相似。
又r(a)=r(b)=2, 且a、b有相同的正惯性指数， 因此a与b合同。 故选(a) .
评注】1)若a与b相似， 则| a |=b |；r(a)= r(b)；tr(a)= tr(b); a与b有相同的特征值。
2)若a、b为实对称矩阵， 则 a与b合同 r(a)= r(b), 且a、b有相同的正惯性指数。
这是数学二首次要求考查的内容，完全类似的问题见《历年真题（一）》p307的小结。
二、填空题 (11－16小题，每小题4分，共24分。 把答案填在题中横线上。)
答案】 应填。
详解】 =完全类似例题见《经典讲义》p.14例1.24, 例1.25及辅导班讲义例1.7.
12) 曲线上对应于的点处的法线斜率为。
答案】 应填。
详解】 因为，于是，故法线斜率为
完全类似例题见《经典讲义》p.46例2.15, 例2.16及辅导班讲义例2.14.
13) 设函数则。
答案】 应填。
详解】 一般地，从而 =
完全类似例题见《经典讲义》p.56例2.49, 例2.50及辅导班讲义例2.16.
14) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为。
答案】 其中为任意常数。
详解】 特征方程为，解得可见对应齐次线性微分方程的通解为
设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k= 2. 故通解为。
完全类似例题见《经典讲义》p.172例题8.7及辅导班讲义例8.9.
15) 设f(u,v)是二元可微函数，则。
答案】 详解】，，于是有。
完全类似例题见辅导班讲义例9.6及《经典讲义》p199习题三1-3.
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