以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过。
2024年数学二试题分析、详解和评注。
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。 把答案填在题中横线上）
1）设，则 =
分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导。
详解】 方法一： =于是。
从而 =方法二： 两边取对数，，对x求导，得。于是，故。
评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.55【例2.15】
2） 曲线的斜渐近线方程为。
分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可。
详解】 因为a=
于是所求斜渐近线方程为。
评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑的情形。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.192【例7.32】
分析】 作三角代换求积分即可。
详解】 令，则。
评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.130【例4.54】
4） 微分方程满足的解为。
分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可。
详解】 原方程等价为。
于是通解为 ，由得c=0，故所求解为。
评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型。 另外，本题也可如下求解：原方程可化为，即 ，两边积分得，再代入初始条件即可得所求解为。
完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）p.154
5）当时，与是等价无穷小，则k= .
分析】 题设相当于已知，由此确定k即可。
详解】 由题设， ，得。
评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.38【例1.62~63】
6）设均为3维列向量，记矩阵，如果，那么 2 .
分析】 将b写成用a右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可。
详解】 由题设，有。
于是有 评注】 本题相当于矩阵b的列向量组可由矩阵a的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若，则有
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.356【例1.5】
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
7）设函数，则f(x)在内。
a) 处处可导b) 恰有一个不可导点。
c) 恰有两个不可导点d) 至少有三个不可导点c ]
分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形。
详解】 当时，；
当时，；当时，
即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(c).
评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.56【例2.20】
8）设f(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“m的充分必要条件是n”，则必有。
a) f(x)是偶函数f(x)是奇函数。
（b） f(x)是奇函数f(x)是偶函数。
c) f(x)是周期函数f(x)是周期函数。
(d) f(x)是单调函数f(x)是单调函数a ]
分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案。
详解】 方法一：任一原函数可表示为，且。
当f(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(a)为正确选项。
方法二：令f(x)=1, 则取f(x)=x+1, 排除(b)、(c); 令f(x)=x, 则取f(x)=,排除(d); 故应选(a).
评注】 函数f(x)与其原函数f(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过。 请读者思考f(x)与其原函数f(x)的有界性之间有何关系？
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.10【例1.5~1.7】
9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
ab) .cda ]
分析】 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标。
详解】 当x=3时，有，得（舍去，此时y无意义），于是。
可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：
令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：, 故应(a).
评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.53【例2.9】
10）设区域，f(x)为d上的正值连续函数，a,b为常数，则。
a) .b). c) .dd ]
分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的。 本题可考虑用轮换对称性。
详解】 由轮换对称性，有。
应选(d).
评注】 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析。 特别，当具有轮换对称性（x,y互换，d保持不变）时，往往用如下方法：
公式见p.285, 完全类似方法见《数学复习指南》（理工类）p.300【例11.26】
11）设函数， 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有。
(a) .b）.
cdb ]分析】 先分别求出、、，再比较答案即可。
详解】 因为，于是 ，可见有，应选(b).
评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧，也可取，则，容易验算只有成立，同样可找到正确选项(b).
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.267【例10.16】及习题十（第11题）
（12）设函数则。
a) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点。
b） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点。
c) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点。
d) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点d ]
分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限。
详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点。
且 ，所以x=0为第二类间断点；，所以x=1为第一类间断点，故应选(d).
评注】 应特别注意：， 从而，
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.41【例1.68】
13）设是矩阵a的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是。
ab) .c). db ]
分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可。
详解】 方法一：令 ，则。
由于线性无关，于是有。
当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(b).
方法二： 由于 ，可见，线性无关的充要条件是故应选(b).
评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）p.407【例3.17】
14）设a为n（）阶可逆矩阵，交换a的第1行与第2行得矩阵b,分别为a,b的伴随矩阵，则。
a) 交换的第1列与第2列得。 (b) 交换的第1行与第2行得。
c) 交换的第1列与第2列得。 (d) 交换的第1行与第2行得。
[ c ]分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可。
详解】 由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 ，于是 ，即。
可见应选(c).
评注】 注意伴随矩阵的运算性质：
当a可逆时，
完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）p.381【例2.14，例2.29】
三 、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15）（本题满分11分）
年数学二答案
2005年数学二试题解析。1.填空题。1 详解 于是。从而 2 详解 因为a 于是所求斜渐近线方程为。3 详解 令，则。4 分析 同2005年数学一题一 2 这里从略 5 详解 由题设，得。6 分析 同2005年数学一题一 5 这里从略 二 选择题。7 分析 同2005年数学一题二 7 这里从略 8...
2024年数学二试题评析
2003年考研数学 二 真题评注。一 填空题 本题共6小题，每小题4分，满分24分。把答案填在题中横线上 1 若时，与是等价无穷小，则a 4 分析 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简。详解 当时，于是，根据题设有 故a 4.评注 ...
2024年数学二考试大纲
平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数 反函数 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达 l hospital 法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性 拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小...