2023年数学建模A

1、用波动理论表示排队长度随时间的变化。

交通流量理论中将相邻两个状态的交通流之间的界面称为“交通波”简称“波”。当事故发生后，事故点的通行能力降低，如果上游的交通需求超过瓶颈点的通行能力，将出现一向后的返回波，当事故排除后，将出现“启动波”，同时尾部又有后续车辆到达，即还有返回波，两者同时存在，且都在向后运动。

图1 事故发生点交通波传播示意图。

假设当交通事故发生后，本车道上游的需求流量下降为q1,对应的密度记为k1，瓶颈点的通行能力下降为s1，车流密度相应地上升为ks1，事故持续时间为t1，故障排除后，排队车辆以饱和流率s驶出，对应密度记为ks。一般异常事件持续时间的定义是指从交通异常产生到交通流状态恢复正常所需的时间。

图2 车流阻塞—消散过程的波形时—距图。

t=0为事故发生时间，y=0表示事故发生点，车流阻塞—消散过程产生的波如图2所示，包括直线段ab和曲线段bcd。

ob为事故发生后返回波的轨迹，波速为。

通过观测可确定流量和密度的关系模型，本文采用greenshield流—密模型，如图3所示，并规定需求流量q1属于高速低密的畅流态，而s1属于低速高密的拥挤态。则。

通过解三角形可得出，令，则。

图3 流—密关系曲线图。

由上两式可得。

由于。因此。

当6)设k 表示曲线段bcd上任意一点的交通流密度，则该点的波速为。又。则7）

方程（7）可化为齐次微分方程，令。

则。设可得曲线段bcd上任意一点的排队长度为。

则8）将式（8）对时间求导：

可得最大排队长度和相应时刻如下：

令可得排队消散时刻：

2、算例。假设某高速道路交通流模型参数如表1所示，事故所在车道上游到达量交通事故发生后，通行能力下降为密度事故持续时间。

据公式（3）、（5），可算出。

当。最大排队长度和相应时刻：

消散时刻。