2023年数学建模

题目：最小二乘法建立经验公式。

浙江理工大学启新学院。

二零一二年三月二十四日。

摘要：某种合金的溶解温度会随含铅量的变化而变化，既不同的含铅量的该合金的溶解温度不同。为了研究其溶解温度随含铅量的百分比变化规律，我们分析了有关数据，参考了一些数学模型，最终采用了最小二分法建立求出了该模型。

关键词：最小二乘法；散点图。

一．问题重述。

某种合金的含铅量百分比（%）为p,其溶解温度（c）为θ,由实验测得p与θ的数据如下表：

二．问题分析。

首先要确立p与θ的关系，也就是，要找出一个能使上述数据大体适合的函数关系 θ=f(p).根据题目所给的数据，我们可以在坐标轴上以p为横坐，θ为纵坐标标绘出散点图，如图，三．模型假设。

从图上可以看出，这些点的连线大致接近于一条直线，于是就可以认为θ=f(p)是线性函数，并设θ=ap+b,其中a和b是待定常数。关于a和b的确定，最理想的情形是选取这样的a和b，能使直线θ=ap+b经过上图中所标出的各点。但在实际上这是不可能的。

因为从上图，我们可以看出，这些点本来就不在同一直线上。因此，只能要求选取这样的a、b，使得f(p)= ap+b在p1，p2，p3，p4，p5，p6出的函数值与实验数据θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6相差都很小，就是要使偏差。

i - f(pi) （i = 1,2,3,4,5,6）

都很小。假设使偏差的和很小来保证每个偏差都很小，但是偏差有正有负，在求和时，可能互相抵消。为了避免这种情形，可对偏差取绝对值再求和，只要。

很小，就可以保证每个偏差的绝对值都很小。但是这个式子中有绝对值记号，不便于进一步分析讨论。由于任何实数的平方都是正数或零，因此可以考虑选取常数a、b，使。

m = 最小来保证每个偏差的绝对值都很小。

四，模型建立。

基于以上假设，我们可以把m看成与自变量a和b相对应的因变量，那么问题就可以归结为求函数m=m（a，b）在那些点处取得最小值，上述问题可以通过求方程组。

的解来解决，即令。

亦即。将括号内各项进行整理合并，并把未知数a和b分离出来，便得。

下面通过列表来计算， ,

将它们代人方程组（3）得。

解这方程组，得。

所以所求的经验公式为。

=2.234p+95.33.