第71课时：第九章直线、平面、简单几何体——平面的基本性质。
课题：平面的基本性质。
一．复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
二．课前预习：
1．、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是c ）
直线。且不共线与重合。
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是d ）
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；
三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有b ）
1个 2个 3个 4个。
4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 7个个平面 ．
三．例题分析：
例1．如图，在四边形abcd中，已知ab∥cd，直线ab，bc，ad，dc分别与平面α相交于点e，g，h，f．求证：e，f，g，h四点必定共线．
解：∵ab∥cd，ab，cd确定一个平面β．
又∵abα＝e，abβ，∴e∈α，e∈β，即e为平面α与β的一个公共点．
同理可证f，g，h均为平面α与β的公共点．
两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，e，f，g，h四点必定共线．
说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点a，但a d，如图1．
直线d和a确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于e，f，g，则a，e，f，g∈α．
a，e∈α，a，e∈a，∴aα．
同理可证bα，cα．
a，b，c，d在同一平面α内．
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点h，k，则h，k∈α．
又 h，k∈c，∴c,则cα．
同理可证dα．
a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
例3．如图，点a，b，c确定的平面与点d，e，f确定的平面相交于直线l，且直线ab与l相交于点g，直线ef与l相交于点h，试作出平面abd与平面cef的交线．
解：如图3，在平面abc内，连结ab，与l相交于点g，则g∈平面def；在平面def内，连结dg，与ef相交于点m，则m∈平面abd，且m∈平面cef．所以，m在平面abd与平面cef的交线上．同理，可作出点n，n在平面abd与平面cef的交线上．连结mn，直线mn即为所求．
例4．如图，已知平面α，β且αβ＝l．设梯形abcd中，ad∥bc，且abα，cdβ，求证：ab，cd，l共点（相交于一点）．
证明 ∵梯形abcd中，ad∥bc，ab，cd是梯形abcd的两条腰．
ab，cd必定相交于一点，设abcd＝m．
又∵abα，cdβ，∴m∈α，且m∈β．m∈αβ
又∵αβl，∴m∈l，即ab，cd，l共点．
说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．
四．课后作业：
1．在空间四边形的边、、、上分别取点，如果与相交于一点，那么。
一定在直线上一定在直线上。
可能在直线上，也可能在直线上。
既不在直线上，也不在直线上。
2．有下列命题：
空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是。
答案：①③3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．
4．四边形中，，则成为空间四面体时，的取值范围是。
答案：．5．如图，p、q、r分别是四面体abcd的棱ab，ac，ad上的点，若直线pq与直线bc的交点为m，直线rq与直线dc的交点为n，直线pr与直线db的交点为l，试证明m，n，l共线．
证明：易证m，n，l∈平面pqr，且m，n，l∈平面bcd，所以m，n，l∈平面pqr平面bcd，即m，n，l共线．
6．如图，p、q、r分别是正方体abcd－a1b1c1d1的棱aa1，bb1，dd1上的三点，试作出过p，q，r三点的截面图．
作法 ⑴连接pq，并延长之交a1b1的延长线于t；
连接pr，并延长之交a1d1的延长线于s；
连接st交c1d1、b1c1分别于m，n，则线段mn
为平面pqr与面a1b1c1d1的交线．
连接rm，qn，则线段rm，qn分别是平面pqr与面dcc1d1，面bcc1b1的交线．
得到的五边形pqnmr即为所求的截面图（如图4）．
说明求作二平面的交线问题，主要运用公理1．
解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点．
有时同时还要运用公理及公理的推论等知识．
7．如图，在平行六面体abcd－a1b1c1d1的中，a1c1b1d1＝o1，b1d平面a1bc1＝p．
求证：p∈bo1．
证明在平行六面体abcd－a1b1c1d1中，b1d平面a1bc1＝p，∴p∈平面a1bc1，p∈b1d．
b1d平面bb1d1d．∴p∈平面a1bc1，且p∈平面bb1d1d．
p∈平面a1bc1平面bb1d1d，a1c1b1d1＝o1，a1c1平面a1bc1，b1d1平面bb1d1d，o1∈平面a1bc1，且o1∈平面bb1d1d．
又b∈平面a1bc1，且b∈平面bb1d1d，平面a1bc1平面bb1d1d＝bo1．∴p∈bo1．
说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．
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