数列。一、选择填空题。
1.（江苏2023年4分）设数列的前n项和为sn，sn= (对于所有n≥1)，且4=54，则1的数值是 ▲
答案】2。考点】数列的求和。
分析】根据4=s4－s3列式求解即可：
sn=， 4=54，且4=s4－s3，，解得。
2.（江苏2023年5分）在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则=【
a．33b．72c．84d．189
答案】c。考点】等比数列的性质。
分析】根据等比数列中，首项，前三项和为21，可求得，根据等比数列的通项公式，分别求得，和代入，即可得到答案：
在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，∴3+3+32=21。∴=2。
。∴。故选c。
3.（江苏2023年5分）对正整数n，设曲线在＝2处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 ▲
答案】。考点】应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前项和的公式。
分析】∵，曲线在＝2处的切线的斜率为，切点为（2，）。
所以切线方程为。
把，代入，得。∴。
数列的前项和为。
4.（江苏2023年5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 ▲
答案】。考点】归纳推理，等比数列的前项和。
分析】前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋1）个，即个，第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为。
6.（江苏2023年5分）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则。
答案】。考点】等比数列的性质，数列的应用，等价转化能力和分析问题的能力。
分析】∵，数列有连续四项在集合中，∴有连续四项在集合中。
∴按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现－24，36，－54，81成等比数列，是中连续的四项，比为。
7.（江苏2023年5分）函数的图像在点()处的切线与轴交点的横坐标为，为正整数，，则 ▲
答案】21。
考点】抛物线的性质， 函数的切线方程，数列的通项。
分析】求出函数在点()处的切线方程，然后令=0代入求出的值，再结合得到数列的通项公式，再得到的值：
函数在点()处的切线方程为：，当时，解得。
8.（江苏2023年5分）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是 ▲
答案】。考点】等差数列、等比数列的意义和性质，不等式的性质。
分析】由题意得，
要求的最小值，只要求的最小值，而的最小值为1，。∴
9、（2012江苏卷6） 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
解析】组成满足条件的数列为：从中随机取出一个数共有取法种，其中小于的取法共有种，因此取出的这个数小于的概率为。
点评】本题主要考查古典概型。在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意。
10、（2013江苏卷14）14．在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为。
答案： 14．12
11、（2014江苏卷7）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是 .
答案】4二、解答题。
1.（江苏2023年12分）设无穷等差数列的前n项和为sn.
ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；
ⅱ)求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立。
答案】解：（i）当时，
由，即。又。
ii）设数列的公差为d，则在中分别取=1，2,得。
解得。若成立；
若。故所得数列不符合题意。若；若。
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
: an=0，即0，0，0，…；
: an=1，即1，1，1，…；
: an=2n－1，即1，3，5，…。
考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。
分析】（i）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到求得。
ⅱ）设数列的公差为d，在 sn2=(sn)2中分别取=1，2求得，代入到前n项的和中分别求得d，进而对和d进行验证，最后综合求得答案。
2.（江苏2023年14分）设数列的前项和为，已知，且。
其中为常数。
求a与b的值；（2分）
证明：数列为等差数列；（6分）
证明：不等式对任何正整数都成立（6分）
答案】解：（1）由已知，得，由，知。
即，解得。2）由（1）得 ①
－①得， ③
－③得 。，
又∵，∴数列为等差数列。
3）由（2） 可知，要证，只要证。
因为，故只要证，即只要证。
因为，由于以上过程是可逆的，所以命题得证。
考点】数列的应用。
分析】（1）由题意知，从而解得a=－20，b=－8。
2）由（ⅰ）得，所以在式中令，可得。
由此入手能够推出数列为等差数列。
3）由（2）可知，，然后用分析法可以使命题得证。
3.（江苏2023年14分） 设数列、、满足：，（n=1,2,3,…）证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（=1,2,3,…）
答案】证明：必要性：设是公差为的等差数列，则。
（=1,2,3,…）成立。
又(常数)（=1,2,3,…）
数列为等差数列。
充分性： 设数列是公差为的等差数列，且（=1,2,3,…）得。
又∵， 从而有④。
④－③得⑤。，即，由⑤得（=1,2,3,…）
由此不妨设（=1,2,3,…）则(常数)。
由此，从而。
－得。(常数=1,2,3,…)
所以数列是等差数列。
考点】等差数列的性质，必要条件、充分条件与充要条件的判断。
分析】本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，理解公差的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式．利用递推关系是解决数列的重要方法，，熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来。
5.（江苏2023年16分）已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，1）若是大于的正整数，求证：；（4分）
2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）
3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
答案】解：设的公差为，由，知，（）
1）证：∵，
2）证：∵，且，解得，或，但，∴。
是正整数，∴是整数，即是整数。
设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。，
若，则，那么。
当时，∵，只要考虑的情况，，∴是正整数。∴是正整数。
数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。
3）设数列中有三项成等差数列，则有。
设，则2。令，则。，∴解得。
即存在使得中有三项成等差数列。
考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质。
分析】（1）设的公差为，由，把代入，即可表示出，题设得证。
2）利用，可得，整理即可求得，从而可判定是整数，即是整数。设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。
3）设数列中有三项成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设，从而可得以2，令，求得。
6.（江苏2023年16分）（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
i）当时，求的数值；
ii）求的所有可能值．
2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
答案】解：（1）（i）当n=4时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去，则，即化简得，得。
若删去，则，即化简得，得。
综上，得或。
ii）当n=5时，中同样不可能删去，否则出现连续三项。
若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：
当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)。
综上所述，。
2）假设对于某个正整数，存在一个公差为d的项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*
由知，与同时为0或同时不为0。
当与同时为0时，有与题设矛盾；
故与同时不为0，所以由（*）得。，且x、y、z为整数，∴上式右边为有理数，从而为有理数。
对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如项数列1，，，满足要求。
考点】等差数列的性质，等比关系的确定，等比数列的性质。
分析】（1）根据题意，对=4， =5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，从而推广到≥4的所有情况．
2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可。
7.（江苏2023年14分）学设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和；
2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。
答案】解：（1）设公差为，则，由性质得。，∴即。
又由得，解得，。
数列的通项公式为；前项和。
2）∵为数列中的项，为整数，且为正整数，∴。
经检验，符合题意的正整数只有。
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