不等式。
一、选择填空题。
1.（江苏2024年4分）二次函数y=ax2＋bx＋c(x∈r)的部分对应值如下表：
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是 ▲
答案】。考点】一元二次不等式与二次函数。
分析】由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式ax2＋bx＋c>0的解集：
由表可设y=a（x＋2）（x－3），又∵x=0，y=－6，代入知a=1。∴y=（x＋2）（x－3）
由ax2＋bx＋c=（x＋2）（x－3）＞0得x＞3或x＜－2。
不等式ax2＋bx＋c>0的解集为：。
2.（江苏2024年4分）函数的定义域为 ▲
答案】考点】函数的定义域，对数函数的意义，一元二次不等解法。
分析】由题意得：，则由对数函数性质得：，即，解得或。
函数的定义域为：。
3.（江苏2024年5分）设、、是互不相等的正数，则下列等不式中不恒成立的是【 】
a） （b）
cd）答案】c。
考点】不等式恒成立的条件。
分析】运用排除法，c选项，当时不成立。故选c。
4.（江苏2024年5分）不等式的解集为 ▲
答案】。考点】数函数单调性和不等式的解法。
分析】∵，即。
解得。5.（江苏2024年5分）若集合，则中有 ▲ 个元素。
答案】6。考点】交集及其运算，解一元二次不等式。
分析】先化简集合a，即解一元二次不等式，再求与z的交集：
由得，解得。，共有6个元素。
6.（江苏2024年5分）设为正实数，满足，则的最小值是 ▲
答案】3。考点】基本不等式。
分析】由可推出，代入中，消去，再利用均值不等式求解即可：
由得，代入得，当且仅当＝3 时取“＝”
7.（江苏2024年5分）已知集合，若则实数的取值范围是，其中。
答案】4。考点】集合的子集的概念，利用对数的性质解不等式。
分析】∵得，∴。
又∵，，即实数的取值范围是。∴4。
8.（江苏2024年5分）设实数，满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ **。
答案】27。
考点】基本不等式在最值问题中的应用，等价转化思想。
分析】∵3≤≤8，∴；又∵4≤≤9，∴，即。
即。∴的最大值是27。
9.（江苏2024年5分）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于p、q两点，则线段pq长的最小值是 ▲
答案】4考点】函数的图象及性质的应用，基本不等式的应用。
分析】根据函数的对称性，设经过原点的直线与函数的交点为，则。
本题也可以直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段pq长的最小，最小值为4。
10、（2012江苏卷14）已知正数满足：则的取值范围是 ．
解析】根据条件，得到。
得到。又因为，所以，由已知，得到。从而，解得。
点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算。关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价。本题属于中高档题，难度较大。[**]
二、解答题。
1.（江苏2024年12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。
某投资人打算投资甲、乙两个项目。 根据**，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.
8万元。 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
答案】解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目。
由题意知。目标函数z=+0.5。
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域，作直线，并作平行于直线的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的m点，且与直线的距离最大。
这里m点是直线和的交点。
解方程组，得=4，=6。
此时（万元）。
∴当=4，=6时，z取得最大值。
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。
考点】基本不等式在最值问题中的应用。
分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资和万元，列出和的不等关系及目标函数z=+0.5，利用线性规划或不等式的性质求最值即可。
2.（江苏2024年14分）已知函数满足下列条件：对任意的实数1，2都有。
和，其中是大于0的常数。设实数，，满足和。
ⅰ)证明，并且不存在，使得；
ⅱ)证明；ⅲ)证明。
答案】证明：（i）任取 ①
和 ②可知 ，从而 。
假设有①式知。
不存在。ii）由 ③
可知 ④由①式，得 ⑤
由和②式知， ⑥
将⑤、⑥代入④式，得 。
iii）由③式可知。
（用②式）（用①式）
考点】不等式的证明。
分析】（ⅰ要证明，并且不存在，使得，由已知条件和合并，可以直接得出。再假设有，使得，根据已知判断出矛盾即得到不存在，使得。
ⅱ）要证明；把不等式两边和分别用题中的已知等式化为同一的函数值得形式，再证明不等式成立即可。
iii）由已知和（ⅱ）中的不等式逐步推导即可。
3.（江苏2024年16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为。如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为。
现假设甲生产a、b两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产a、b两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品a、b的单价分别为元和元，甲买进a与卖出b的综合满意度为，乙卖出a与买进b的综合满意度为学科。网。
1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；
2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？学科。
3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
答案】解：（1）由题意，得，，（当时，。
2）当时，，[**：]
由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
3）由（2）知：=，由得：，令则，∴。
同理，由得：。
另一方面，，，当且仅当，即=时，取等号。
所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。
考点】函数的概念，基本不等式，数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。
分析】（1）由已知直接求出和关于、的表达式。把分别代入和，比较即可。
（2）由（1）的结论，求出分母最小时的值即可。
3）由（2），=时，令得和，从而得出结论。
2、（2013江苏卷21）卷ⅱ 附加题。
21．d.［选修4-5：不定式选讲］本小题满分10分。[**：学#科#网]
已知＞0，求证：
答案：21．d证明：
又∵＞0，∴＞0， ,
3、（2014江苏卷21）卷ⅱ 附加题。
d.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)
已知x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.
本小题主要考查算术一几何平均不等式。考查推理论证能力。满分10分。
证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.
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