高中数学复习---不等式。
一、不等式的性质及均值不等式。
1．实数的三岐性：设，那么；；；
2．不等式的性质：
1)对称性： ,2)传递性： ;
3)加法原理： ;
4)乘法原理；
5)可加性： ,减法可以转化为加法来进行。
6)可乘性： ;除法可转化为乘法来进行)
7)乘方原理： ;
8)开方原理： ;
9)三角不等式，(其中左等号成立的充要条件是；右等号成立的充要条件是；
3.均值不等式。
1) (当且仅当时”=”成立)
2) (当且仅当时’=”成立)
应用于求最值要注意三个条件：一正，二定，三相等缺一不可。
3)均值不等式的拓展：
4.典型例题。
例1.已知，求证： ;
例2.若比较与的大小；
例3.设，其中且，试比较和的大小。
例4.设求的最小值。
例5.设，求的最大值。
例6.已知求证： ；
5.巩固训练。
a组。1.下列推理正确的是( )
a) (b) (c) (d)
2.已知满足且，那么下列选项中一定成立的是( )
ab) (c) (d)
3.若则( )
a) (bc) (d)
4.已知，则的最小值为( )
a)2b)6c)8d)9
5.设，已知命题命题，则是成立的( )
a)必要不充分条件(b)充分不必要条件(c)充分必要条件(d)不充分也不必要条件。
6.若，则三个数按从小到大排列为。
7.若，且，则的最小值为。
8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次。一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨。
b组。1.已知则的大小关系是。
2已知点在直线上，则的最小值是。
3.如果，则且。
4.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为。
5.设数列中， 若，比较与的大小；
二。不等式的证明及含绝对值的不等式。
1不等式的证明是不等式的难点之一，证明的主要方法有：比较法，分析法和综合法。
1)比较法：是证明不等式的最基本的方法，可分为作差比较法，作商比较法。
2)分析法：指从证明的不等式出发，”执果索因”,从结论出发找命题成立的充分条件，直到找到明显成立的不等式或已经证明的不等式为止，这种方法叫分析法。
3)综合法：从一个正确的不等式出发，根据不等式的性质及均值不等式对该不等式变形，直到得出所求证的不等式为止，即”执因索果”
注：除了以上方法外还有反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，函数法与数形结合法等。
2.含绝对值的不等式。
1)实数的绝对值的定义；
2)对有。3)对有。
4)含绝对值的不等式的定理的推广。
3.典型例题。
例1.已知，且，求证： ;
例2.已知实数其中与为正数，求证： ;
例3. 已知，求证： ;
例4:若，求证：
例5.证明： ;
例6(1)已知求证； ;
2)求实数的取值范围，使不等式对满足的一切实数恒成立；
4.巩固训练。
a 组。1.不等式同时成立的充要条件是( )
a) (b) (c) (d)
2.设且，那么( )
a) 有最小值 (b) 有最大值
c) 有最小值 (d) 有最小值。
3.若且，则的最小值为( )
a) (b) (c) (d)
4.设实数满足。若对满足条件的，恒成立，则的取值范围是( )
a) (b) (c) (d)
5.设，若且，则下列结论中正确的是( )
a) (b) (c) (d)
6.已知，其中为常数，则的最大值为。
7.设且，则与的大小关系为。
b组。1.在(1) ;2) ;3) ;4) ,这四个函数中，当时，使恒成立的函数有。
2.设，则恒成立的的最小值是。
3.设，则与的大小关系是。
4.已知且，求证：
5.已知，证明： ;
6.已知，求证：
7.已知且，求证：
8.已知数列中， ,求证：
三、不等式的解法及不等式的综合应用。
1．解不等式的过程实质上是一个等价转化的过程，最终都要转化为一元一次或一元二次不等式，要掌握以下几类不等式解法。
1)一元一次不等式的解法；
2)一元二次不等式的解法；
3)简单的高次不等式的解法；
4)分式不等式解法；
5)含绝对值不等式的解法；
6)了解指、对数不等式的解法；
7)了解无理不等式的解法；
2．不等式的综合应用。
1)不等式知识贯穿于高中数学的始终，是构建高中数学知识交汇点的一个典型平台。
2)考查学生综合应用所学的数学知识，思想和方法解决实际问题的能力，需要依赖于不等式知识。
3)不等式的应用问题的常见形式：
利用不等式知识求最值；②不等式在方程函数中应用；
不等式在几何问题中的应用；④利用不等式知识解决实际问题；
3．典型例题。
例1．若不等式对于一切成立，则实数的最小值是（ ）
a)0bcd)
例2．解不等式。
例3．解关于的不等式。
例4．若不等式的解集为求实数的取值范围。
例5．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围。
例6．解不等式。
例7．是互不相等的实数，设，试比较与的大小。
例8．已知集合，函数的定义域为。
1)若，求实数的取值范围。
2)若方程在内有解，求实数的取值范围。
4．巩固训练。
a组。1．若不等式的解集是则的值为（ ）
abc)10d)14
2．函数的定义域是（ ）
a) (bcd)
3．若，则的充要条件是（ ）
abcd)
4．若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是（ ）
abcd)
5．设，则与的关系是。
6．方程的一根大于3，另一根小于3，则实数k的取值范围是。
7．不等式的解集是。
8．不等式的解集是。
b组。1．已知，则不等式的解集是。
2．集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围可以是。
3．不等式对恒成立，则实数的值为。
4．已知函数的值域为，则函数的定义域为。
5．解关于的不等式；
6．已知函数。
1)判断在上的增减性，并证明你的结论；
2)解关于的不等式；
3)若在上恒成立，求的取值范围。
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