数列》一、 知识要点。
1．数列的定义叫做数列。
2．数列中的每一个数都叫做这个数列的 ，其中第n项记作；
数列简记作{}。
3．数列的前n项和与通项的关系是。
4．数列的单调性与最值：数列{}是递增数列，则数列{}是递减数列，则。
5．等差数列与等比数列性质对比。
二、 典型例题和基本方法。
题型一】根据递推关系求通项公式。
1． 形如型的数列求通项公式可用累加法；用累乘法：
例1． 在数列中，，，则。
2． 由含与通项的递推关系式求，可用；
与数列各项的和有关的式子求，可写出时的关系式，两式相减得。
例2．设数列满足，．求数列的通项；
例3．设数列的前项和为，已知．
ⅰ）证明：当时，是等比数列； （求的通项公式．
3． 形如及型的递推式求通项公式直接用等差数列、等比数列通项公式；或者把一个数列问题转化成基本数列求解。
例4．数列中。
例5．在数列中，，，证明数列是等比数列。
例6．设数列的前项和为．已知，，．
ⅰ）设，求数列的通项公式； （若，，求的取值范围．
题型二】数列求和。
1．公式法求和： 等差、等比数列求和； ；
例7．已知数列的通项，求其前n项和。
例8．已知数列为等差数列，且，ⅰ）求数列的通项； （证明。
2．倒序相加法、错位相减法、分组转化法、裂项相消法求和裂项求和：
例9．数列的前项和为，，．
ⅰ）求数列的通项； （求数列的前项和．
例10．在数列中，，，
ⅰ）证明数列是等比数列； （求数列的前项和；
ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
例11．等差数列的各项均为正整数，，前项和为，为等比数列，，且，是公比为64的等比数列．（1）求与 （2）证明： ．
练习：设数列的前项的和，
ⅰ）求首项与通项；（ⅱ设，，证明：
题型三】等差数列、等比数列性质的应用。
例12．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）
a.5 b.4 c. 3 d.2
例13．设sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ (a)
abcd）例14．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则。
例15．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）
例16．已知等差数列｛an｝的前n项和为sn，若，且a、b、c三点共线（该直线不过原点o），则s200＝（ a ）
a．100 b. 101 c.200 d.201
练习：1．等差数列的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为( )
a 130 b 170 c 210 d 260
2．为等差数列，是前n项和且（ ）
a 2 b 11 c 4 d 12
3．等差数列的公差是，，则的值为
4．设是公差为的等差数列，如果，那么
5．三个数成等差数列，又成等比数列，则等于。
6．等差数列中，，公差，则使得前n项和sn取得最大值的n的值是
7．是等差数列且前n项和分别为且。
8．已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。
（1） 求数列和的通项公式；
2) 若问是否存在，使成立，若存在，求出值，若不存在，说明理由；
3)记，求的最小值。
题型四】数列的综合应用。
例17．已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
1）求{}的通项公式； （2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：
例18．已知数列和满足：，，且是以为公比的等比数列．
i）证明：；（ii）若，证明数列是等比数列；
iii）求和：．
例19． 某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……以tn表示到第n年末所累计的储备金总额。
ⅰ）写出tn与tn－1（n≥2）的递推关系式；
ⅱ）求证：tn＝an＋bn，其中｛an｝是一个等比数列，｛bn｝是一个等差数列。
自我检测。1．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）
2．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
a．63 b．45 c．36 d．27
3.各项均为正数的等比数列的前n项和为sn，若s10=2,s30=14,则s40等于。
a 80 b 30c 26 d 16
4．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）
5．已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的 （
a. 必要而不充分条件 b. 充分而不必要条件 c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件。
6．等差数列｛｝中，，从第10项开始大于1，则的取值范围是（ ）
a．()b．()c．［)d．(]
7．已知是等比数列，且an>0，a2a4 +2a3a5 +a4a6=25，那么a3 + a5 等于（ ）
a． 5 b ．10c ．15 d ．20
10．设是公差为正数的等差数列，若，，则。
abcd．
11．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则。
12．已知等差数列的前项和为，若，则。
13．等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．
14．已知等差数列的前n项和sn =则它的前项和最大。
15．设正项数列的前n项和为sn，且存在正数t，使得对所有正整数n，t与an的等差中项和t与sn的等比中项相等，求证数列{}为等差数列，并求通项公式及前n项和．
16．设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
1）求数列的等差数列．（2）令求数列的前项和．
17．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
2） 设tn=(1+a1) (1+a2) …1+an)，求tn及数列｛an｝的通项；
3） 记bn=，求｛bn｝数列的前项和sn，并证明sn+=1.
18．设数列满足(1) 证明对一切正整数n 成立；(2)令，判断的大小，并说明理由
8．解 （1）将点代入中，得。
又， 又点在直线上
当为偶数时，为奇数
当为奇数时，为偶数（舍去）
存在符合条件。
即递增故的最小值为。
证(1)：由递推公式得
上述各式相加并化简得
解(ii）：
解：（ⅰ我们有．
ⅱ），对反复使用上述关系式，得。
在①式两端同乘，得。
①，得。．即．
如果记，，则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．
ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝s1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝sn+1- sn＝，得an+1- an-3＝0或an+1＝-an因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。
因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。
ⅱ）证法一：由可解得；
从而。因此。
令，则。因，故。
特别的。从而，即。
证法二：同证法一求得bn及tn。
由二项式定理知当c＞0时，不等式成立。由此不等式有。
证法三：同证法一求得bn及tn。令an＝，bn＝，cn＝。
因，因此。从而。
ⅰ）依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．①
ⅱ）由①知，，于是，当时，当时， ．又．
综上，所求的的取值范围是。
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