材料力学答案

习题1.1

1.对一组整数进行四则运算，所得结果是什么数解（1）整数相加得到整数；（2）整数相减得到整数；（3）整数相乘得到整数；（4）整数相除得到的是有理数。所以对一组整数进行四则运算得到的是有理数。

2．写出4个数码1, 2, 3, 4的所有4阶排列。

分析4阶排列是指由1, 2, 3, 4构成的有序的数组，共有4！个，每个数字必须出现且只能出现一次，具体做法可以是先确定排在第一位的数，比如为1,然后排第二位的数分别为2, 3, 4,接着排第三位、第四位的数。

解123412431324134214231432

3．分别计算下列四个4阶排列的逆序数，然后指出奇排列是（a）（a）4312；（b）4132；（c）1342；（d）2314分析计算排列逆序数的方法有两种：

方法一τ(i1i2in)=τ1(i1后面比i1小的数的个数)＋τ2(i2后面比i2小的数的个数)＋

τn1(in1后面比in1小的数的个数)

方法二1前面比1大的数的个数＋2前面比2大的数的个数＋＋(n1)前面比。

n1大的数的个数。

逆序数是奇数的称为奇排列，逆序数是偶数的成为偶排列。

解按方法一计算：τ(4312)=3+2=5奇排列。

(4132)=3+1=4偶排列τ(1342)=1+1=2偶排列。

(2314)=1+1=2偶排列故选a.

4．计算以下各个排列的逆序数，并指出它们的奇偶性：（1）314265；(2)314265789；（3）542391786；（4）987654321；（5）246813579；（6）n(n1)21.解按习题3分析中的方法一计算：

1）τ(314265)=2+1+1=4偶排列（2）τ(314265789)=2+1+1=4偶排列（3）τ(542391786)=4+3+1+1+4+1+1=15奇排列（4）τ(987654321)=8+7+6+5+4+3+2+1=36偶排列（5）τ(246813579)=1+2+3+4=10偶排列（6）τ(n(n1)21)=(n1)+(n2)++2+1=数与n有关，故要对n进行讨论：

当n=4k,4k+1时。

n(n1),这表明该排列的逆序2

n(n1)为偶数，此时排列n(n1)21.为偶排列；2

当n=4k+2,4k+3时n(n1)为奇数，此时排列n(n1)21.为奇排列。

5．在由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成的下述9阶排列中，选择i与j使得：（1）2147i95j8为偶排列；（2）1i25j4896为奇排列；（3）412i5769j偶排列；（3）i3142j786奇排列。均要求说明理由。

分析排列1i25j4896中的两个未知数i与j据排列的定义只能取3或7.因而只有两种情况：1132574896与2172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为1与2是3和7作一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若1为偶排列，则2必为奇排列。

其余题解法也类似。

解（1）取i=3,j=6有τ(214739568)=1+1+2+2=6为偶排列，符合题目要求。（2）取i=3,j=7有τ(132574896)=1+1+2+1+1=6为偶排列，故取。

i=7,j=3时***为奇排列，符合题目要求。

3）取i=3,j=8有τ(412357698)=3+1+1=5为偶排列，符合题目要求。（4）取i=5,j=9有τ(531429786)=4+2+1+3+1+1=12为偶排列。故取。

i=9,j=5时***为奇排列，符合题目要求。

6.写出全体形如52及253的5阶排列。总结一下，有k个位置数码给定的。

n(n>k)阶排列有多少个？

分析形如52的5阶排列中5和2的位置已经确定，3个位置只能取数字1，3，4中的某一个。

解形如52的5阶排列中第一个可取1，3，4中的任何一个，故有3种取法，第二个可取剩下数字当中的任一个，有两种取法，最后一个只能取余下的那一个数，据乘法原理共有3×2×1=3!种取法，即形如52的阶排列有（5－2）！个。

同理形如253的阶排列共有（5－3）！个。因而，有k个位置数码给定的n(n>k)阶排列有(nk)!

个。7.自学附录一：连加号。

与连乘号∏.

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