数掌公开 ｉ慧跫。
北京。刘晓莉引言。
对数学问题的求解，实质。
葡。１）因为 ｅ＝所以。
上是对问题结构的一种认识或揭示．ｂｅ所以ｂｅｍ厶ｅｍｂ对客观存在着的问题结构．人们的认所以ａｅｍ因为ｃⅳ平分。
识会有深有浅．从而产生浅层结构与厶ｄｃｐ所以所以 ａｅ
深层结构的区别．肘ｃ尸。
在△４删和△ｍｃ中．
１）对问题本身的浅层认识首先图１
表现为：停留在事实性内容或叙述形。
因为｛ｃ．所以△ａｅ
式（甚至条件出现的前后）上，从而看。
不透：不同的事实性内容或不同的叙△ｍｃ所；ｘａ
述形式有相同的数学结构．但发现不（２）仍然成立．理由如下．
了缺少一针见血的本质揭示．
在边ａ曰上截取ａｅ＝连结ｍｅ
２）对问题解法的浅层认识首先。
图略）．因为ａａｂ是等边三角形，表现为：问题虽能求解但比较麻烦．或所以ａｂ＝日ｃ．日所以者是过程过于曲折．或者是无思维、思ａｃ 因为ａｅ＝所以ｂｅ：路．或者是对非本质条件的过分依赖ｂｍ．所以ｂｅｍ厶ｅｍｂ所以。
等．其原因是对差距题的结构未看透ａｅｍ因为ｃⅳ平分 ａｃ所同时也表现为把两种实质相同的解题。
以／ｐｃ所以。
途径分割为了两个互不相关的解法．
２０。因为ｃ ⅳ一 ４肘ⅳ一ａｍｂ一ｂ一厶ａｍｂ
例ｉ题 （２苏无锡）（１如。
辑以△ａｅ厶ｍｃｎ甄以ａｍ：
图１所示．在正方形ａｂｃ中．点ｍ是。
ｃ边（不含端点ｂ，ｃ上任意一点，点。
３）！二：是日ｃ延长线上一点．点ⅳ是 ｄｃ平。
成怒。换一个思维角度．我们从。
分线上一点．若厶４ｍｎ求证：
图ｌ的结论出发，若连结。
应该是等腰直角三角形．如果作出下面给出一种证明的思路．你可ｒｔａ的外接圆，有何发现呢？点ｃ
以按这一思路证明．也可以选择另外．
也在这个圆上吗？一个接近问题深层。
的方法证日月．
结构的“辅助圆”证法来到眼前！
证明：在边上截取＝ ｃ连。
ｔ【ｊ如图３所示，连结ａｃ因结ｍｅ．在正方形ａｂｃ中．ｂ＝
为四边形ａｂｃ是正方形．ｃｎ平分。
所以 ⅳ ．ｄｃ所以。
８０。一ａｍⅳ一一２
厶。二 ｄｃ
下面请你完成余下的证明过程）
尊麓 ｉ数字公开。
由“将军饮马’’说起。
江苏。刘东升。
相传．海伦是古希腊亚历山大城．
且 ＋ｐ为最短路线．
所以点 ０．的距离之和最短．
精通数学、物理的学者．一天，一位将ｂ
这个问题后来被称为“将军饮。
军向他请教一个问题：如图１所示，将马”问题．需要指出的是．它是一个十。
军准备从点出发．想让马到一条笔河岸河岸。
分重要的“最值模型”．如人教版课标直的河流上去饮水．然后再去日地，那实验教材《数学》八年级（上）“１轴。
么，怎样走路线最短呢？海伦稍加思。
图２对称变换”．在“**”栏目中设置的。
索．建立以下数学模型．便解决了这设点ｐｌ是河岸ｆ上异于点ｐ
选址修建泵站”的问题．即“要在燃个问题，请看：
的任意一点，连结因为气管道ｚ上修建一个泵方．使所用的输他把河岸看作直线￡如图２所。
点与点ａ 关于ｚ对称．所以 ｝４气管线最短”．其数学模型就是“将军示．先取４（或 ）关于直线ｚ的对称点。
所以＋ｐｂ船。
饮马”问题．这个模型在初中的解题。
（或ｂ ）连结４ 曰（或ｂ ）与直线尸１且在△ ｐ曰中，中经常用到．同学们一定要掌握其使。
交于一点尸．则点蹴是将军饮马的地。
所以船．用方法．囝。
０。＝所以二＿ ｄ
思路，请看下面的图５和图６因为。
０。．连结４ⅳ．构造以ａｎ为直径的。
５。．所以。
ｏ，则ｍ，ｃ都在ｏｏ上，即ａ，ｍ
４５。因为 ａｅ连结ａｆ．
四点共圆．如图３所示．所以 ４ｎ
构造以 ｆ为直径的ｏ０。则ｅ．ｃ都在。
口－－４所以朋。
０上，即ａ，ｅ四点共圆，如图４４５所以ａｍ＝
所示．所以。所以。图５
甄以ａｅ＝
图３图６
反思２上述方法还可以推广结语。
上面这些解题反思的案。
到：（２湖北黄冈，有删减）如图４所曰。
例说明，数学问题（包括解法）是有结。
示，当点是ｂｃ延长线上（除点ｃ外）图４
构的，对这种结构的认识又是有深浅的任意一点．其他条件不变时．结论反思３可以看出．构造辅助网。
之分的．它是解题主体认知结构水平。
’仍然成立．
的方法揭示了问题的深层结构．我们。或优化程度在解题活动中的反映．那。
隧。因为四边形４ ｃ是。
不仅可以处理这里正方形为载体的么．怎样提高解题的认知水平呢？经正方形，ｃｆ平分 ｄｃ所以 ａｃ
问题，例题中第（２）问“将（１）中的“正验表明．自觉进行解题过程的反思分１
ｂ＝—二。方形ａｂｃ改为“正三角形ａｂｃ如。
析是促进认知结构优化的一个有效。
图２所示）”．也可运用构造辅助圆的。
途径．圈。ｊｔ，数学辅诤２７
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