一级倒立摆研究。
160232 蒋琴）
1.背景介绍。
倒立摆装置被公认为自动理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。通过倒立摆的研究，可以将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学有机结合起来，在倒立摆中进行综合应用。
在稳定控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。其结构简单，**低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，倒立摆的控制方法有很多种，如pid、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及神经元网络等多种理论和方法。
用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。
2.倒立摆简介。
倒立摆可以分为直线倒立摆、平面倒立摆和环形倒立摆等。
2-1直线倒立摆2-2平面倒立摆 2-3环形倒立摆。
3.模型构建。
3.1倒立摆系统运动示意图。
3-1 倒立摆系统运动示意图。
m小车质量。
m摆杆质量。
b小车摩擦系数。
l摆杆转动轴心到杆质心的长度。
i摆杆惯量。
f加在小车上的力。
x小车位置。
摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）
摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）
3.2受力分析。
3-2 倒立摆受力分析图。
3.3 模型构建。
1）理论分析。
应用 newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
由摆杆水平方向所受的合力，可以得到如下方程：
合并得：
摆杆垂直方向：
合并得到力矩平衡方程：
当夹角很小时（小于1rad）,可以做如下近似处理：，
用u代替f，可得：
设状态空间表达式为：
在（4）式中对和进行线性求解，可得：
其中： 整理后，得到状态空间表达式为：
其中： 2）实际问题。
实际系统参数如下：
m小车质量 1.096kg
m 摆杆质量0.109kg
b 小车摩擦系数0.1n/m/s
摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m
摆杆惯量 0.0034
t 采样时间 0.005s
所以，状态空间表达式为：
3.4系统的能观性和能控性。
能观性矩阵：
能控性矩阵：
所以，系统是能控能观的，本身即为最小系统。
3.5 simulink**。
3-3 simulink**。
3-4 小车位移输出图 3-5 摆杆角度输出图。
4.倒立摆实验。
4.1倒立摆硬件系统结构。
直线倒立摆本体结构如下图所示，主要部件有：交流伺服电机，同步带，增量式光电编码器，小车，摆杆，滑杆，限位开关等。
4-1 直线倒立摆 4-2 倒立摆控制框图
4.2matlab 程序。
求传递函数 gs(输出为摆杆角度)和 gspo(输出为小车位置)
q=(m+m)*(i+m*l^2)-(m*l)^2;
num=[m*l/q 0];
den=[1 b*(i+m*l^2)/q -(m+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q]; gs=tf(num,den);
numpo=[(i+m*l^2)/q 0 -m*g*l/q];
denpo=[1 b*(i+m*l^2)/q -(m+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0]; gspo=tf(numpo,denpo);
求状态空间 sys(a,b,c,d) p=i*(m+m)+m*m*l^2;
a=[0 1 0 0;0 -(i+m*l^2)*b/p m^2*g*l^2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(m+m)/p
b=[0;(i+m*l^2)/p;0;m*l/p]; c=[1 0 0 0;0 0 1 0];
d=0;sys=ss(a,b,c,d);
通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应。
t=0:t:5;
y1=impulse(gs,t);
y2=impulse(gspo,t);
figure(1);
plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([0 2 0 80]);
legend('car position','pendulum angle');
将状态空间方程sys转化为传递函数
gs0 gs0=tf(sys);
通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应
t=0:t:5;
y=impulse(sys,t);
figure(2);
plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');axis([0 2 0 80]);
legend('car position','pendulum angle')
通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应。
t=0:t:5;
y1=impulse(gs,t);
y2=impulse(gspo,t);
figure(1);
plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([0 2 0 80]);
legend('car position','pendulum angle');
将状态空间方程sys转化为传递函数
gs0 gs0=tf(sys);
通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应
t=0:t:5;
y=impulse(sys,t);
figure(2);
plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');axis([0 2 0 80]);
legend('car position','pendulum angle');
5.总结。通过对一级倒立摆建模，并结合课本上的知识，对倒立摆控制做了一个系统的分析，本次大作业让我将所学的知识与实践结合起来，更深入地理解了所学知识，此外，还学会了matlab编程方法和simulink**方法，收获很大！
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