盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。
一级倒立摆研究。
160232 蒋琴）
1.背景介绍。
倒立摆装置被公认为自动理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。通过倒立摆的研究，可以将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学有机结合起来，在倒立摆中进行综合应用。
在稳定控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。其结构简单，**低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，倒立摆的控制方法有很多种，如pid、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及神经元网络等多种理论和方法。
用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。
2.倒立摆简介。
倒立摆可以分为直线倒立摆、平面倒立摆和环形倒立摆等。
2-1直线倒立摆2-2平面倒立摆 2-3环形倒立摆。
3.模型构建。
3.1倒立摆系统运动示意图。
3-1 倒立摆系统运动示意图。
m小车质量。
m摆杆质量。
b小车摩擦系数。
l摆杆转动轴心到杆质心的长度。
i摆杆惯量。
f加在小车上的力。
x小车位置。
摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）
摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）
3.2受力分析。
3-2 倒立摆受力分析图。
3.3 模型构建。
1）理论分析。
应用 newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
由摆杆水平方向所受的合力，可以得到如下方程：
}}(x+l\\sin θ)altimg': w': 177', h': 50'}]altimg': w': 308', h': 271）
合并得：\\sin θ]f", altimg': w': 404', h': 272）
摆杆垂直方向：
}}(l\\cos θ)altimg': w': 196', h': 50'}]cos θ]altimg': w': 262', h': 27'}]
合并得到力矩平衡方程：
]很小时（小于1rad）,可以做如下近似处理：
用u代替f，可得：
(m+m)x''+bx'mlφ''u\\\i+ml^)φmglφ=mlx''\end\ight.",altimg': w': 243', h': 78'}]4）
设状态空间表达式为：
x'=ax+bu\\\y=cx+du\\end\ight.",altimg': w': 114', h': 78'}]
在（4）式中对和进行线性求解，可得：
x'=x'\\x''=frac)b}x'+\fracgl^}φfrac}ufracx'+\fracφ+\fracu\\end\ight.",altimg': w':
347', h': 201'}]5）
其中：[)altimg': w': 181', h': 26'}]
整理后，得到状态空间表达式为：
x'\\xend=\\begin010 0\\\0 \\frac)b} \fracgl^} 0\\\000 1\\\0 \\frac \\frac 0\\end", altimg': w': 317', h':
202'}]x\\\xend", altimg': w': 44', h':
148'}]0\\\frac}\\endu', altimg': w': 94', h':
202'}]6）
1 0 0 0\\\0 0 1 0\\end\\beginx\\\xend+\\begin0\\\0\\endu", altimg': w': 254', h': 148'}]
其中：['altimg': w': 171', h': 26'}]
2）实际问题。
实际系统参数如下：
m小车质量 1.096kg
m 摆杆质量0.109kg
b 小车摩擦系数0.1n/m/s
]摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m
]摆杆惯量 0.0034[',altimg': w': 58', h': 21'}]
t 采样时间 0.005s
所以，状态空间表达式为：
x'\\xend=\\begin0 10 0\\\0 0.0883 0.6300 0\\\0 001\\\0 0.
2357 27.8570 0\\end\\beginx\\\xend+\\begin 0\\\0.8832\\\0\\\2.
3566\\endu", altimg': w': 464', h':
148'}]
1 0 0 0\\\0 0 1 0\\end\\beginx\\\xend+\\begin0\\\0\\endu", altimg': w': 272', h': 148'}]
3.4系统的能观性和能控性。
能观性矩阵：
b a^b]',altimg': w': 180', h': 25'}]
0 0.8832 0.0780 1.
4915\\\0.8832 0.0780 1.
4915 0.2629\\\0 2.3566 0.
2082 65.6662\\\2.3566 0.
2082 65.6662 6.1506\\end', altimg':
w': 383', h': 148'}]
能控性矩阵：
c ca ca^ ca^\\end^',altimg': w': 204', h': 32'}]
1.0000 0 0 0\\\0 0 1.0000 0\\\0 1.
0000 0 0\\\0 0 01.0000 \\0 -0.0883 0.
6300 0\\\0 -0.2357 27.8570 0\\\0 0.
0078 0.0556 0.6300\\\0 0.
0208 0.1485 27.8570\\end', altimg':
w': 311', h': 312'}]
所以，系统是能控能观的，本身即为最小系统。
3.5 simulink**。
3-3 simulink**。
3-4 小车位移输出图 3-5 摆杆角度输出图。
4.倒立摆实验。
4.1倒立摆硬件系统结构。
直线倒立摆本体结构如下图所示，主要部件有：交流伺服电机，同步带，增量式光电编码器，小车，摆杆，滑杆，限位开关等。
4-1 直线倒立摆 4-2 倒立摆控制框图
4.2matlab 程序。
求传递函数 gs(输出为摆杆角度)和 gspo(输出为小车位置)
q=(m+m)*(i+m*l^2)-(m*l)^2;
num=[m*l/q 0];
den=[1 b*(i+m*l^2)/q -(m+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q]; gs=tf(num,den);
numpo=[(i+m*l^2)/q 0 -m*g*l/q];
denpo=[1 b*(i+m*l^2)/q -(m+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0]; gspo=tf(numpo,denpo);
求状态空间 sys(a,b,c,d) p=i*(m+m)+m*m*l^2;
a=[0 1 0 0;0 -(i+m*l^2)*b/p m^2*g*l^2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(m+m)/p
b=[0;(i+m*l^2)/p;0;m*l/p]; c=[1 0 0 0;0 0 1 0];
d=0;sys=ss(a,b,c,d);
通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应。
t=0:t:5;
y1=impulse(gs,t);
y2=impulse(gspo,t);
figure(1);
plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([0 2 0 80]);
legend('car position','pendulum angle');
将状态空间方程sys转化为传递函数
gs0 gs0=tf(sys);
通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应
t=0:t:5;
y=impulse(sys,t);
figure(2);
plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');axis([0 2 0 80]);
legend('car position','pendulum angle')
通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应。
t=0:t:5;
y1=impulse(gs,t);
y2=impulse(gspo,t);
figure(1);
plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([0 2 0 80]);
legend('car position','pendulum angle');
将状态空间方程sys转化为传递函数
gs0 gs0=tf(sys);
通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应
t=0:t:5;
y=impulse(sys,t);
figure(2);
plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');axis([0 2 0 80]);
legend('car position','pendulum angle');
5.总结。通过对一级倒立摆建模，并结合课本上的知识，对倒立摆控制做了一个系统的分析，本次大作业让我将所学的知识与实践结合起来，更深入地理解了所学知识，此外，还学会了matlab编程方法和simulink**方法，收获很大！
控制理论大作业
一级倒立摆研究。160232 蒋琴 1.背景介绍。倒立摆装置被公认为自动理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。通过倒立摆的研究，可以将控制理论所涉及的三个基础学科 力学 数学和电学有机结合起来，在倒立摆中进行综合应用。在稳定控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。...
高级控制理论大作业
1110322052 陆丹萍。某控制系统可以自动地保持潜艇深度，潜艇从艇尾水平角到实际深度的传递函数近似为 试设计控制律，使性能指标最小。其中希望深度，假定只有实际深度可用于反馈。要求 求出控制律，并用simulink对潜艇 画出实际深度和控制量的变化曲线。解 本题属无限时间定常输出跟踪问题。首先把...
现代控制理论大作业
直流电动机模型的分析。姓名 李志鑫。班级 测控1003 学号 201002030309 直流电机是现今工业上应用最广的电机之一，直流电机具有良好的调速特性 较大的启动转矩 功率大及响应快等优点。在伺服系统中应用的直流电机称为直流伺服电机，小功率的直流伺服电机往往应用在磁盘驱动器的驱动及打印机等计算机...