33数字规律。
一． 例题赏析。
例一．将杨辉三角中的每一个数都换成分数 ，得到一个。
如图4所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形。若。
用有序实数对(ｍ，表示第ｍ行，从左到右第ｎ
个数，如(4,3)表示分数。那么(9,2)表示的分数。
是。例2: 观察数表。
根据表中数的排列规律，则字母a所表示的数是。
例3. 如图3，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果层六边形点阵的总点数为331，则等于 .
例四：.2023年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形oa1b1c1,中间的阴影部分m1n1p1q1是一个小正方形的“赵爽弦图”.若这四个全等的直角三角形有一个角为30°,顶点b1、b2、b3、…、bn和c1、c2、c3、…、cn分别在直线和轴上，则第个阴影正方形mnnnpnqn的面积为。
2、归纳与发散。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，此类题的解题方法探索：
一、基本方法——看增幅。
（一）如增幅相等（实为等差数列）：请写出下列数列的第n项。
自然数数列：1，2，3，4，5，6……
偶数数列：2，4，6，8，10，12……
奇数数列：1，3，5，7，9，11，13……
（二）即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列。
如，2,5,10,17,19...增幅分别为，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列。
如,17增幅为.
（四）增幅或者增幅的增幅与有关。
a..增幅是..增幅的增幅是
答案与3有关且是n的3次幂，即： n+1
b..增幅是..答案与2的乘方有关即：
二、基本技巧---注重数据的排列。
（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……试按此规律写出的第100个数是 100 ，第n个数是 n。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，……
序列号： 1，2，3， 4， 5，……
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是-1，第100项是—1
三、二次以内的通法。
例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为。
设y=an2+bn+c(a=0时为一次）将（1,1），（2,9），（3,25）的坐标代入得。
解得a=4,b=-4,c=1所以第n项为 4n2-4n+1
备注：1.此法只适合n的整式，如果是分式，按分子分母的规律分别用。
2.只适合二次以内，a=0时为一次。
三、热点训练：
1. 观察数表。
根据表中数的排列规律，则b+d= ．
2. 把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是 ．
3 .观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是 ．
4. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…现有等式am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如a7=（2，3），则a2015=（
a． （31，50） b． （32，47） c． （33，46） d． （34，42）
5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。
现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个，正方形拼成如下矩形并记为①、②相应矩形的周长如下表所示：若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿
6.（玉林市）“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个。”
7.(2023年威海市中考题)一组按规律排列的数：，，请你推断第9个数是
8按白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？
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