高考考点：1、平面向量的基本概念（理解层次）
2、向量的线性运算（掌握层次）
3、平面向量的基本定理及坐标表示（掌握层次）
基本知识梳理。
一、向量的定义以及有关概念。
1、定义。2、相等向量（向量可以平移）、单位向量、零向量、相反向量、平行向量与共线向量。
2. 向量的模、 向量的夹角。
4. 向量的表示方法：两种。
二、向量的运算。
1、向量的加法运算。
定义。运算法则：三角形法则（首尾相接，首尾连。
运算律： 1）交换律2）结合律。
例1：一艘船从a点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度。
变式：一艘船从a点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和。
2、向量的减法运算。定义： 1
例2：平行四边形中，a，b， 用a、b表示向量、.
解：由平行四边形法则得： =a + b， =ab
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直。
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| =ab
变式三：a+b与ab可能是相等向量吗。
3、向量的数乘运算及几何意义。
定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；当时，．
实数与向量的积的运算律：
1）（结合律）；
2）（第一分配律）；
3）（第二分配律）．
例3：计算： （1）（2）
4、向量共线定理：（重要）
定理：如果有一个实数，使 （）那么向量与是共线向量；反之，如果向量与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得．
可解决三类问题：1、向量共线2、三点共线3、两直线平行。
例题见教案）
三、平面向量基本定理：（重要）
1、定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
1) 我们把不共线向量ｅ１、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
2) 基底不惟一，关键是不共线；
3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、的条件下进行分解；
4) 基底给定时，分解形式惟一。 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。
例4本题实质是。
2．向量的夹角：已知两个非零向量、，作，，则∠aob＝，叫向量、的夹角，当=0°，、同向，当=180°，、反向，当=90°，与垂直，记作⊥。
3、平面向量的坐标表示。
1）正交分解。
2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？
4．平面向量的坐标运算。
1）若，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
2）若，，则。
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
向量的坐标与以原点为始点、点p为终点的向量的坐标是相同的。
例5 1．若m(3， -2) n(-5， -1) 且 ， 求p点的坐标。
2．若a(0， 1)， b(1， 2)， c(3， 4) ，则2= .
3．已知：四点a(5， 1)， b(3， 4)， c(1， 3)， d(5， -3) ，
如何求证：四边形abcd是梯形？
四、平面向量的数量积（重要）
1、平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = a||b|；当a与b反向时，ab = a||b|. 特别的aa = a|2或。
4cos5|ab| ≤a||b|
3、用坐标来表示数量积
平面两向量数量积的坐标表示：
向量平行与垂直的判定：
平面内两点间的距离公式： 求模：例6
1）已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
a.60b.30c.135d.４５
2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
a.2b.2c.6d.12
平面向量知识串讲教师版
1 结合律 2 第一分配律 3 第二分配律 例3 计算 1 2 4 向量共线定理 重要 定理 如果有一个实数，使 那么向量与是共线向量 反之，如果向量与 是共线向量，那么有且只有一个实数，使得 可解决三类问题 1 向量共线2 三点共线3 两直线平行。例题见教案 三 平面向量基本定理 重要 1 定理 ...
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