2024年01月09日a卷试卷。
一、 单项选择题。下列每题给出的四个答案中只有一个是正确的，将表示正确答案的字母填入题后的括号中。（10分）
1、对一个极大化的线性规划问题用单纯形法求解，若对所有的检验数，但对某个非基变量，有，则该线性规划问题（ ）
a. 有唯一的最优解； b. 有无穷多个最优解； c. 为无界解； d. 无可行解。
2、下列关于对偶问题的说法不正确的是（ ）
a. 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题；
b. 对偶问题的对偶问题一定是原问题；
c. 当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解；反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；
d. 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界。
3、在产销平衡运输问题中，设产地为m个，销地为n个，那么解中非零变量的个数（ ）
a. 不能大于(m+n-1)； b. 不能小于(m+n-1)； c. 等于(m+n-1)； d. 不确定。
4、在求解目标规划问题时，如果要使目标规划实际实现值不超过目标值，则相应的偏离变量一定满足（ ）
a. ；b. ；c. ；d.
5、无向连通图g是欧拉图，当且仅当g中（ ）
a. 无奇点； b. 无偶点； c. 无悬挂点； d. 无孤立点。
二、判断下列说法是否正确。正确的在括号内打“√”错误的打“×”30分）
1、线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。
2、用单纯形法求解标准型式的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选做换入变量。
3、如线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解。
4、应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量，又所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。
5、运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：有唯一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
6、正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。
7、整数规划解的目标函数值优于其相应的线性规划问题的解的目标函数值。
8、指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常数k，将不影响最优指派方案。
9、在任一图g中，当点集v确定后，树图是g中边数最少的连通图。
10、求图的最小生成树的问题可以归结为求解整数规划问题。
三、解答题。（60分）
1、（15分）用单纯形法求解以下线性规划问题。
2、 （15分）已知线性规划问题：
1） 写出其对偶问题。
若已知其对偶问题的最优解为，，试用对偶问题的性质，求原问题的最优解。
3、 （10分）用表上作业法求下表中给出的运输问题的最优解。
4、 （10分）有4个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示。问：指派哪个工人完成哪项工作，可使总消耗时间为最小？
5、 （10分）求下图的最小生成树。
2024年01月09日a卷答案。
一、单项选择题：
1-5 bcaba每题 2 分）
二、判断题：
1-5 ×√6-10每题 1 分）
三、解答题：
1、解：将问题化为标准型式如下：
3分)下面用单纯形表进行计算：
8分）最终结果表明：
最优解3分）
目标函数最优值1分）
2、解：1）该问题的对偶问题为：
5分）2）因为最优解为，，带入上面各式并根据对偶问题的互补松弛性：
④为等式，故，②为不等式，故4分）
又有，，即原问题的约束条件应取等号2分）
因此：解得2分）
原问题的最优解为1分）
目标函数最优值1分）
3、解：因为销量：3+5+6+4+3=21；产量：9+4+8=21；为产销平衡的运输问题。 （1分）
由最小元素法求初始解：
（5分）用位势法检验得：
（7分）所有非基变量的检验数都大于零，所以上述即为最优解且该问题有唯一最优解。
此时的总运费：。（2分）
4、解：系数矩阵为：
3分）从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素，得：
再从每列元素减去该列的最小元素，得4分）
圈定独立零元素3分）
此时独立零元素个数为3<4，给第四行打，给第四列打√，给第二行打√，将第1，3行画一横线，第4列画一纵线，得。
变换矩阵后得3分）
给第1，4列打√，第1，2，4行打√，给第1，4列画一纵线，第3行画一横线，变换矩阵得5分）
得到最优指派方案为：甲—b，乙—a，丙—c，丁—d
所消耗的总时间为：18+19+16+17=702分）
5、解：（13分）
总权重为：1+2+2+2+3+2+2+2+2=182分）
2024年01月09日b卷试卷。
二、 单项选择题。下列每题给出的四个答案中只有一个是正确的，将表示正确答案的字母填入题后的括号中。（10分）
1、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数，在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（ ）
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