【德鲁德模型】
气体分子运动论=>统一解释金属的电、热、光性质（电子气模型）。问题：电子比热太大，没有实验支持；温度趋零时，无限大的平均自由程和有限的离子间距矛盾。
电子浓度：n=n/v=naz/a3~1022cm-3
电子平均占有半径：rs=(3/4πn)1/3~2-5ab
金属电阻率：ρ~1(77k)-10(300k)μωcm
金属热导率：κ~10-100w/(m·k)
弛豫时间：
平均自由程：l=vτ~1-10a
费米能量、速度：εf~1-10ev，vf~106m/s
费米波矢、温度：kf~1a-1，tf~1-10×104k
弛豫时间为的电子在电磁场中的运动方程。
索末菲模型】
基于电子轨道不相容原理，提出对电子气体新的统计方法（ff-d统计）=>索末菲模型=>一系列重要概念（费米气体、费米球面、费米波矢等）
自由电子的能态密度g∝ε1/2可以通过软x射线证实。设射线的发射宽度对应的高低能量为εf-εb和-εb，则：
在引入的费米统计中，能量为ε的量子态在化学势μ以下基本是被填满的，其上基本是空的。
自由电子能量与波矢的关系（ε=h2k2/4π22me），因此，电子的等能面在倒易空间中是球面。能量等于化学势的球面就是费米面。
在绝对零度下，费米面内的电子量子态数等于价电子总数n，由此可以得到费米波矢等相关量如下：
能态密度定义为单位体积晶体在单位能量间隔中的能级数或状态数(自旋乘以2)：
索末菲展开】
对应微观物理量的宏观量：
对于自由电子气浓度：
金属中的比热：
因此，电子和原子振动贡献的比热容比为：
实验测得的与上述预言的总趋势是一致的，但普遍较高：
这是因为在对费米的5-22式中，电子的有效质量发生变化的原因：
能带理论】薛定谔方程=>布洛赫能带结构=>孤立原子的电子存在分立能级，当n个原子接近形成固体时，nz个电子占有一系列的能带，空态也要展开成一系列能带（大部分完全被电子占满，一条或几条能带被部分填满的，更高的能带是空的）。固体的这种结构可以通过“与固体发生散射的光子、高能电子束引起的固体电子跃迁进行分析，从而在证明能带理论的普适性也可能得到固体的能带信息”。
紧束缚模型】
紧束缚模型可以解释内层电子的能带，有时也可以解释价电子的能带。
第n条能带方程。
参数是总的周期势对孤立原子第n能级的调制；参数则描述了近邻原子波函数之间的交叠。
对不同的结构，可以通过对的计算来估计能带的带宽。
弱晶格势近似】
电子在弱晶格势中的一系列能带由下式计算：
在边界处，必须采用简并微扰论来计算能隙，两个态的能量分别如下：。因此，能隙表达为，为弱晶格周期势在倒易格矢处的傅里叶系数。能隙是正比于周期势的起伏幅度的。
真实能带和费米面】
碱金属具有bcc结构，kf=0.88kn ，除了在fbz中非常接近边界的区域，碱金属价电子的能带非常接近于弱晶格势近似的计算结果。
***与碱金属一样只有一个价电子，只是其结构为fcc结构，kf=0.90kl，能带中的费米面很接近fbz的边界，因此在边界附近，价电子能带会弯曲，这样，在fbz表面的l点附近，***的有8个洞。***的能带和弱晶格势的计算结果差别很大，其中5条d能带恰好填满，费米面位于s能带中间。
碱土金属有fcc、bcc和hex三种结构，有两个4s电子，原则上应该填满4s能带，只是费米球与fbz的边界形状不同，因此4s电子会在4s能带填满还差一点的情况下先填充p能带。导致4s和p能带中的费米面都是由大量小碎片的集合构成的。钙的能带与铜的很相似，只是其费米面移到了4s能带的顶部，恰好与一条p能带也有交点，其4s能带上的费米面有l点和x点共14个空洞，而3d能带的费米面是l点的8个球冠。
三价元素晶体有fcc、orc、tet和hex四种结构，3a族的价电子包含了ns和np两类能带，对于al，其3s能带已经填满，在费米面附近有两条3p能带，其3p1能带的最低点在x点附近（向内凹陷的变形体），3p2能带的最低点在l点附近（在32条棱边附近）。
过渡金属的结构更复杂，费米面不仅可能分在几条d能带中，而且会分成很多小碎片。bcc结构的铁和fcc的钴、镍的能带很像，只是费米面的位置不同。更重要的是，这三种金属都是铁磁性的，其自旋向上和向下的能带是**的，因此费米面会很混乱（斯莱特交换关联势要分成两部分计算）。
非金属化合物金刚石和钛酸锶中，费米能量附近，能带中的能隙都很大，因此绝缘体是没有费米面的。
半经典模型和有效质量】
对晶体加外场时，电子感觉到的不是严格的周期势，要通过能带电子计算宏观量，要通过其它办法。考虑到外加电场的能量远小于晶格势的起伏，可以假设电子的能谱仍然可以用能带描述，把能带电子看成是固体中的一个新的准粒子，在波矢k附近的δk范围内所有布洛赫电子本征态的叠加会造成一个尺度为δx=π/k波包，恰好体现了准粒子的波粒二象性。
能带电子的有效质量矩阵与作为基本粒子的真空电子不同，它依赖于波矢k和能带指标n：
导体】导体、半导体和超导体的严格分类必须由固体中电子贡献的总电流密度j来判定。已知固体中的电子总数为znanl，所有电子的量子态将由低能到高能填充到各条能带中去。在非铁磁的固体中（自旋上下的能带不**），一条能带总共可以填充2nl个电子的量子态，因此总能带数约为zna/2（由于能带的交叠，这个数量是近似而不准确的）。
内层电子的大多数能带都是满带的，但是有一条或几条价电子的能带是半满带。
满带对固体电导没有贡献。
在半满能带中的所有布洛赫电子贡献的总电流密度是：
由此可见，固体中总电流都是由半满能带贡献的。
在绝缘体和半导体中，接近0k时所有的能带都是满带或者空带；常温下，半导体（绝缘体能隙太大）满带中的电子被部分激发到空带，使得它们俩同时变成了半满的能带，从而具有了一定的导电能力。
在能带论中，总的电导率矩阵是：
在金属中，载流子就是价电子，总的导电电子的密度是常数：
值得注意的是，方程66中的价电子平均有效质量与费米面上的有效质量是不同的，更依赖于费米面的特性，而则体现了整个半满能带的整体性质：
对于金属导体：ρ∝t，τf∝t-1，lf∝t-1。
材料的弛豫时间】
材料的弛豫时间的物理解释包括两个方面：一是缺陷的贡献；一是原子振动的贡献。根据麦特海森规则，两部分的电阻率有加和性：
半导体的热导率】
半导体的热导率与良导体的同量级，与陶瓷绝缘体很不同。在金属中，kmetal取决于电子的，其数量级由维德曼－弗兰茨定律估计；在半导体和绝缘体中，k取决于声子的输运：
半导体的有效质量】
半导体的有效质量比金属的更为复杂。讨论金属的能带及各种性质时常用费米面上的有效质量和价带的平均质量；讨论半导体时更常用的则是有效质量矩阵中的一些矩阵元，以及矩阵元的平均值。在带边εc(kc)和εv(kv)附近，分别有一条导带（定义m*c）和二到三条价带（定义两个有效质量m*light hole和m*he**y hole）。
在价带中，轻空穴和重空穴的有效质量矩阵都是对角化的，在kv=0附近，它们的能带可以展开为：
在导带中，在直接半导体中对角化的：
在间接半导体中是非对角化的，需要定义两个有效质量矩阵元和来描述导带底附近的等能面：
半导体的电导率】
金属的电性质应该用电导率来表征；半导体则用电子迁移率和空穴迁移率，因为电子浓度和空穴浓度会随着外加条件有很大的变化：
半导体中的电子浓度和空穴浓度：
其中，常数和是在重掺杂到金属极限或时导带和价带中电子和空穴的极限浓度，可以简洁的用下列公式表示：
载流子的浓度守恒定律是非简并半导体的重要性质，它可以直接由方程中电子浓度和空穴浓度的表达导出：
室温弛豫温度为：
本征半导体】
本征电子浓度：
其中，能隙（si）与温度的依赖关系是：
外延半导体】
实际的半导体中，只有杂质浓度远低于ni时其本征特性才会出现。外延半导体浓度的规律要复杂的多，在n型或p型半导体中，新的施主能级εd和新的受主能级εa会加入到本征半导体的能带结构中：
ed和ea分别是施主能级和受主能级的浅电离能。这比较容易理解，在本征半导体中，导带中的电子全部来自于价带，而在外延半导体中，施主能级会在导带中贡献电子，受主能级会在价带中贡献空穴。
在施主杂质或受主杂质周围，“电子－ⅲ族离子”和“空穴－ⅴ族离子”对是类氢的。因此，在附近， /型半导体的施主/受主能级是半满的，在室温或更高的温度下，这些杂质载流子就会进入到导带/价带中来。一般来讲，施主/受主能级上的电子/空穴占有率为：
其中， /是杂质类氢原子周围的电子/空穴分别电离进入到导带/价带的杂质离子浓度；和是载流子的自旋简并度。
本征和外延半导体中的载流子浓度可以通过电荷守恒定律确定：
将其与方程6-25联立可以知道：
外延半导体的和曲线中有3个区间，分述如下：
本征区。 饱和区。
冻结区。霍尔系数、迁移率和电阻率】
半导体的电性质必须结合载流子浓度性质以及载流子迁移率的特性来进行解释。例如，n型半导体中，电导率与载流子浓度的比可以表示为：
载流子浓度可以用霍尔系数来测量：
与半导体中的载流子－声子散射相对应的平均lcr自由程可以进行估算如下：
饱和区和本征区的电子和空穴的迁移速度：
在n型半导体中，本征区、饱和区和冻结区的n和ρ随温度变化的规律分别是：
本征区）饱和区）
冻结区）n区和p区接触前，n/p区之间化学势的差为：
接触后n区电子和p区空穴分别扩散到对方的区域中，形成一个耗尽层，达到平衡后，pn结内的化学势－费米面εf相同，因此p区带边的εc、εv会比n区带边的高eφ=μn0-μp0：
设在耗尽层中，两区的空间电荷密度分别是和，则空间电场和电势分别为：
耗尽层宽度可以通过电场的连续条件和电势的连续条件计算出来：
在pn结上加一一个偏置电压v后，总的电势差由内禀势和外加电场两项共同贡献：
偏置的耗尽层宽度和偏置电压的电压为。
通过pn结的电压是由两个过程实现的，载流子越过能垒e(φ-v)的扩散，以及越过能垒后与空穴的复合：
载流子的扩散系数通过爱因斯坦关系得到：
pn结中载流子的寿命大约是电子－空穴复合的时间：
磁性的量子力学根源】
磁性的量子理论始于玻尔模型中的基本磁子，量子轨道的磁矩可以根据安培分子电流的思想计算出来：
其中，μb是磁矩的量子。在外加磁场中，原子的量子能级会按照塞曼能级进一步**：e=-μbhlz（lz=l,…,l）。
原子核（及其中的质子和中子）也有磁矩：
但是比电子小3个数量级，只在特殊情况下考虑。
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