学习报告——
基于小波分析的去噪应用。
专业：计算数学。
班级：数学二班。
学号：152111033
姓名：刘楠楠。
小波分析是传统傅里叶分析发展史上里程碑式的发展，近年来成为众多学科共同关注的热点，本篇报告在小波变换的基础上将其应用于信号去噪中，利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对几种去噪方法不同阀值的选取比对分析和基于matlab信号去噪的**试验，比较各种阀值选取队去噪效果的影响。
小波分析同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。它与fourier变换、 窗口fourier变换(gabor变换) 相比， 是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(multiscale analysis)解决了fourier变换不能解决的许多问题， 从而小波变化被誉为 “数学显微镜” ，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
1小波变换理论。
1.1小波变换的定义。
设为一平方可积函数，即，若其fourier变换满足条件：
则称为一个基本小波、母小波或者容许小波，我们称式（1）为小波函数的可容许条件。表示满足的函数空间。更一般地，表示满足的函数空间。
1.2连续小波变换。
1.2.1一维连续小波变换。
定义：设，其傅立叶变换为，当满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）
时，我们称为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和平移后得。
称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数的连续小波变换为。
其重构公式（逆变换）为。
由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件。
故是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，在原点必须等于0，即。
为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：
式中。从稳定性条件可以引出一个重要的概念。
定义（对偶小波） 若小波满足稳定性条件（1.8）式，则定义一个对偶小波，其傅立叶变换由下式给出：
注意，稳定性条件（1.8）式实际上是对（1.9）式分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。
值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。
连续小波变换具有以下重要性质：
1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。
2）平移不变性：若f（t）的小波变换为，则的小波变换为。
3）伸缩共变性：若f（t）的小波变换为，则f（ct）的小波变换为，4）自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。
5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：
由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f（t）的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。
小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择（例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的）。
小波变换在不同的（a，b）之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。
1.2.2二维连续小波变换。对，公式。
存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波使其为球对称，其傅立叶变换也同样球对称，1.11）
并且其相容性条件变为。
对所有的。
这里， =其中且，公式（2.6）也可以写为。
如果选择的小波不是球对称的，但可以用旋转进行同样的扩展与平移。例如，在二维时，可定义。
这里，，，相容条件变为。
该等式对应的重构公式为。
对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。
1.3离散小波变换。
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。
这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑函数：
这里，，且，是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为。
通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散公式分别取作，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定（由于m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。所以对应的离散小波函数即可写作。
而离散化小波变换系数则可表示为。
其重构公式为。
c是一个与信号无关的常数。然而，怎样选择和，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即和尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。
2小波变换在去噪中的应用。
2.1小波去噪的特点。
传统的去噪方法常使用fourier变换去噪，将含噪信号变换到频域，然后采用低通滤波器进行滤波，但是基于fourier变换的去噪方法存在着保护信号局部性和抑制噪声之间的矛盾。fourier变换去噪不能有效的将噪声与有用信号的高频部分和有噪声引起的高频干扰加以有效的区分开来。这就使得我们在研究信号去噪上注意到小波的好处，小波去噪可以很好的保护有用信号的尖峰和突变部分的信号。
小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的多分辨率分析方法，可以很好的刻画信号的非平稳特性。根据噪声和信号的小波系数在小波分解尺度上具有不同的特性，构造相应的规则，在小波域采用适当的方法对含噪信号的小波系数进行处理。具有以下优点：
1）小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)；
2）小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；
3）小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)（4）小波变换实现上有快速算法(mallat小波分解算法)。
2.2小波去噪的相关算法。
一、建立模型：
如果一个信号被噪声污染后为，那么基本的噪声模型就可以表示为。
式中：为噪声；为噪声强度。最简单的情况下为高斯白噪声，且。
小波变换就是要抑制以恢复，从而达到去除噪声的目的。从统计学的观点看，这个模型是一个随时间推移的回归模型，也可以看作是在正交基上对函数无参估计。小波去噪通常通过以下3个步骤予以实现：
a)小波分解；
b)设定各层细节的阈值，对得到的小波系数进行阈值处理；
c)小波逆变换重构信号。
小波去噪的结果取决于以下2点：
a)去噪后的信号应该和原信号有同等的光滑性；
b)信号经处理后与原信号的均方根误差越小，信噪比越大，效果越好。
如何选择阈值和如何利用阈值来量化小波系数，将直接影响到小波去噪结果。
二、小波系数的阈值处理：
1．由原始信号确定阈值。
小波变换中，对各层系数降噪所需的阈值一般是根据原信号的信噪比来决定的。在模型里用这个量来表示，可以使用matlab中的wnoisest函数计算得到值，得到信号的噪声强度后，根据下式来确定各层的阈值。
式中n为信号的长度。
2. 基于样本估计的阈值选取。
1）无偏似然估计(rigrsure)：是一种基于stein无偏似然估计原理的自适应阈值选择。对于给定的阈值t，得到它的似然估计，再将似然t最小化，就得到了所选的阈值，这是一种软件阈值估计。
2）阈值原则(sqtwlolg)：固定阈值t的计算公式为。
3）启发式阈值原则(heursure)：是无偏似然估计和固定阈值估计原则的折中。如果信噪比很小，按无偏似然估计原则处理的信号噪声较大，在这种情况下，就采用固定阈值形式。
4）极值阈值原则(minimax)：采用极大极小值原理选择阈值，它产生一个最小均方误差的极值，而不是没有误差。统计学上，这种极值原理用来设计估计器。
因为被消噪的信号可以看作与未知回归函数的估计器相似，这种极值估计器可在给定的函数中实现最大均方误差最小化。
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