工程应用数学

实验题（实验题1必做，在实验题中选做一题）

1.(20) 求解微分方程初值问题。

1) 自选方法，在步长，时求解，并与精确解进行比较；(2) 在步长和求解的基础上，运用外推方法提高求解精度。

解：用euler法求解初值问题。

yi+1=yi + h(-yi-xi-2) 其中xi=kh (0现分别选择h(1)=0.05, h(2)=0.05/2进行计算，然后运用外推法提高求解精度。

yi (外推)=(20yh(1)(x)-yh(2)(x))/20-1)

下表中，第一列表示区间[0,1]进行20等分后得到的节点，第二列表示在这些节点处解的精确值，第四列和第六列分别是步长h(1), h(2)时在节点处得数值解，可以看出，步长h(2)时的误差要小于步长h(1)时的误差。第七列是根据步长h(1), h(2)的计算结果得到的外推近似解，与精确解相比，外推解的近似解较好。

2.(20分) 建立如图所示的化工过程模型。在反应器中发生物质a转化为b的反应，由于转化率不高，为获得规定纯度的b，需对产物进行分离，经精馏获得产品b，而残余物再返回反应器继续反应，这是个典型的化工过程。

为建模方便，对物流及组分编号。各物流编号如图所示，并令a为1号，b为2号。若以表示a对b的转化率，以和分别表示a和b的循环比，则对反应器和精溜塔的a和b分别衡算可得如下4个方程：

反应器中a与b的平衡：，；

精馏塔中a与b的平衡：，；

a和b的循环量分别为：和。

若规定原料为纯a，其流量为，a对b的转化率为，且，并令，，，和，试建立并求解物料衡算线性方程组。

3.（20分）**、广告与赢利。

某建材公司有一大批水泥需要**，根据以往的统计资料：零售**高，则销售量减少，具体数据现列于表1中；如果做广告，可使销售量增加具体增加量以销售提高因子表示，与广告费的关系列于表2中。现在已知水泥的进价是每吨250元。

问如何确定该批水泥的**和花多少广告费用，可使公司获利最大？

表1 水泥预期销售量与**的关系。

表2 销售量提高因子与广告费的关系。

提示：1）可以用，，，分别表示单价、预期销售量、广告费和成本单价，先根据表（1）和（2）用曲线拟合建立预期销售量与单价及增量提高因子与广告费的关系。

2）建立利润函数的表达式。

利润=销售收入-成本-广告费用。

这里，实际销售量=预期销售量。利用多元函数微分学求得问题的解。

4、设两点边值问题。

的精确解为。

现以h为步长划分区间为100等份，用差分近似代替微分，将微分方程离散化为线性方程组，代入初始条件后，得到如下的方程组问题。

其中，，。1) 分别用j迭代法，g-s迭代法和sor迭代法求解，并与精确解进行比较；

2) 如果，，再求解该问题。

5、对下列数据作三次多项式的最小二乘拟合，计算误差并作出拟合函数图。

解：总共有8个数据点，令m=7

第一步：画出已知数据的的散点图；

x=[-1,-0.500000000000000,0,0.500000000000000,1,1.50000000000000,2,2.50000000000000;];

y=[-4.44700000000000,-0.452000000000000,0.

551000000000000,0.0480000000000000,-0.447000000000000,0.

549000000000000,4.55200000000000,7.83200000000000;];

plot(x,y,'*

xlabel 'x轴'

ylabel 'y轴'

title '散点图'

hold on

由题意将拟合参数n设为3.

第二步：计算矩阵。

a=注意到该矩阵为（n+1）*(n+1)矩阵，多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2,由此可建立循环来求矩阵的各个元素，程序如下：

m=7;n=3;

a=zeros(n+1);

for j=1:n+1

for i=1:n+1

for k=1:m+1

a(j,i)=a(j,i)+x(k)^(j+i-2);

end;end;

end;再来求矩阵。

b=[0 0 0 0];

for j=1:n+1

for i=1:m+1

b(j)=b(j)+y(i)*x(i)^(j-1);

end;end;

第三步：写出正规方程，求出a0,a1…,an.

b=b';a=inv(a)*b

第四步：计算误差“wucha”画出拟合曲线。

x=[-1,-0.500000000000000,0,0.500000000000000,1,1.50000000000000,2,2.50000000000000;];

z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3

wucha=z-y

plot(x,z)

legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3')

title('拟合图')

拟合图：总程序附如下：

x=[-1,-0.500000000000000,0,0.500000000000000,1,1.50000000000000,2,2.50000000000000;];

y=[-4.44700000000000,-0.452000000000000,0.

551000000000000,0.0480000000000000,-0.447000000000000,0.

549000000000000,4.55200000000000,7.83200000000000;];

plot(x,y,'*

xlabel 'x轴'

ylabel 'y轴'

title '散点图'

hold on

m=7;n=3;

a=zeros(n+1);

for j=1:n+1

for i=1:n+1

for k=1:m+1

a(j,i)=a(j,i)+x(k)^(j+i-2);

end;end;

end;b=[0 0 0 0];

for j=1:n+1

for i=1:m+1

b(j)=b(j)+y(i)*x(i)^(j-1);

end;end;

b=b';a=inv(a)*b

x=[-1,-0.500000000000000,0,0.500000000000000,1,1.50000000000000,2,2.50000000000000;];

z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3

wucha=z-y

plot(x,z)

legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3')

title('拟合图')

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