2023年北京石景山中考一模数学试卷。
一、 选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的相反数是（）．
a． b． c． d．
2．清明小长假本市家景区接待游客约人，数字用科学记数法表示为（）．
a． b． c． d．
3．正五边形的每个内角等于（）．
a． b． c． d．
4．为了解居民用水情况，晓娜在某小区随机抽查了户家庭的月用水量，结果如下表：
则这户家庭的月用水量的平均数和众数分别是（）．
a．， b．， c．， d．，
5．将二次函数化成的形式，结果为（）．
a． b．
c． d．
6．如图，内接于⊙，，为⊙的直径，则的度数是（）．
a． b． c． d．
7．转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图所示，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针对准红色区域的概率是（）．
a． bc． d．
8．如图，边长为的正方形中有两个动点、，点从点出发沿作匀速运动，到达点后停止；同时点从点出发，沿折线作匀速运动，、两个点的速度都为每秒个单位，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设、两点的运动时间为秒，两点之间的距离为，下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（）．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式。
10．如图，，与相交于点，，若，则等于。
11．如图所示，小明同学在距离某建筑物米的点处测得条幅两端点、点的仰角分别为和，则条幅的高度为米（结果可以保留根号）．
12．在平面直角坐标系中，已知直线：，作关于的对称点，将点向右水平平移个单位得到点；再作关于的对称点，将点向右水平平移个单位得到点；……请继续操作并**：点的坐标是，点的坐标是．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．解方程：．
15．如图，在和中，，，点在上．
求证：（1）；
16．已知：，求代数式的值．
17．如图，一次函数的图象与轴交于点，与函数（）的图象交于点．
1）求和的值；
2）将函数（）的图象沿轴向下平移个单位后交轴于点．若点是平移后函数图象上一点，且的面积是，直接写出点的坐标．
18．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共台，购进显示器的总金额不超过元，已知甲、乙型号的显示器**分别为元/台、元/台．
1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？
2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形中，，，于点，，求的长．
20．为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午点至点开设以下选修课：**史、管乐、篮球、健美操、油画．为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各调查一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图．
1）请根据以上信息，直接补全条形统计图和扇形统计图；
2）若初一年级有人，请估算初一年级中有多少学生选修**史？
3）若该校共有学生人，请估算全校有多少学生选修篮球课？
21．如图，⊙是的外接圆，，连结并延长交⊙的切线于点．
1）求证：；
2）若，，求的长．
22．实验操作。
1）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数，若将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出点及；
2）如图，在菱形网格图（最小的菱形的边长为，且有一个内角为）中有一个等边，它的顶点、、都落在格点上，若将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到，请在菱形网格图中画出．其中，点旋转到点所经过的路线长为___
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．已知关于的方程有两个实数根，且为非负整数．
1）求的值；
2）将抛物线：向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，若抛物线过点和点，求抛物线的表达式；
3）将抛物线绕点旋转得到抛物线，若抛物线与直线有两个交点且交点在其对称轴两侧，求的取值范围．
24．在矩形中，，，点是边上一点，过点作，交射线于点，交射线于点．
1）若，则。
2）当以、、为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求的长；
3）过点作交射线于点，请**：当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
25．在平面直角坐标系中，对于任意三点、、的“矩面积”，给出如下定义：“水平底” ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” ．
例如：三点坐标分别为，，，则“水平底” ，铅垂高” ，矩面积” ．
1）已知点，，．
若、、三点的“矩面积”为，求点的坐标；
直接写出、、三点的“矩面积”的最小值．
2）已知点，，，其中，．
若、、三点的“矩面积”为，求的取值范围；
直接写出、、三点的“矩面积”的最小值及对应的取值范围．
2023年北京石景山中考一模数学试卷答案。
一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：
14．解：方程两边同乘以，得，解得，．
经检验：是原分式方程的解．
所以是原方程的解．
15．证明：（1）∵，
在和中，．
16．解：由已知得：，原式。
17．解：（1）根据题意，将点代入，．
将其代入，可得：
2）或．18．解：（1）设该公司购进甲型显示器台，则购进乙型显示器台．
依题意可列不等式：；
解得：，该公司至少购进甲型显示器台．
2）依题意可列不等式：，解得：，为，，．
答：购买方案有：
甲型显示器台，乙型显示器台；
甲型显示器台，乙型显示器台；
甲型显示器台，乙型显示器台．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：过点作于点．，．
20．解：（1）条形统计图补充数据：（图略）．
扇形统计图补充数据：．
2）（人）．
人）．21．（1）证明：连结并延长交于，交弧于．
切⊙于点，．，
2）解：∵，设，，则．，．
22．解：（1）画出点，画出。
旋转到点所经过的路线长为．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．解：（1）∵方程有两个实数根，且，则有且。
且。又∵为非负整数，．
2）抛物线：平移后，得到抛物线：，抛物线过点，，可得，同理：，可得，：或．
3）将抛物线：绕点旋转后得到的抛物线顶点为，当时，由题意，即：．
24．解：（1）；
2）正确画图；
四边形是矩形，．
是等边三角形，．，
是等边三角形，．，
3）过点作于点，四边形是矩形，，，
四边形是平行四边形，．
25．解：（1）由题意：．
当时，则，可得，故点的坐标为；
当时，则，可得，故点的坐标为．
、、三点的“矩面积”的最小值为．
2）①∵三点的“矩面积”的最小值为，．
、、三点的“矩面积”的最小值为，的取值范围为．
2023年北京石景山中考一模数学试卷部分解析。
一、选择题。
1. 【答案】d
解析】的相反数是，故选d．
2. 【答案】b
解析】用科学记数法表示应为，故选b．
3. 【答案】b
解析】正五边形的内角和为，每个内角等于，或者正五边形的内角和为，每个内角等于，故选b．
4. 【答案】a
解析】这组数据中的平均数是，众数是，故选a．
5. 【答案】c
解析】二次函数，故选c．
6. 【答案】c
解析】∵，为的直径，∴，故选c．
7. 【答案】b
解析】六个全等的区域红色占了两个，指针对准红色区域的概率是，故选b．
8. 【答案】a
解析】当时，，是单调递增的一次函数；
当时，．故选a．
二、填空题。
9. 【答案】
解析】分解因式：．
故答案为：．
10. 【答案】
解析。故答案为：．
11. 【答案】
解析】依题可知，，，
故答案为：．
12. 【答案】，
解析】依题可知，关于对称，点的横纵坐标相互交换．，…
依规律可知，，．
故答案为：，．
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