2023年东北三省三校高三第一次联合模拟考试。
文科数学答案。
一． 选择题。
1-6 dbccba 7-12 bbcadd
二．填空题。
13. 3 14. 乙 15. 30 16.
三．解答题。
17．解2分。
4分。函数的值域为6分。
ⅱ）∵即8分。
由余弦定理，，∴即。
又10分。12分。
18. 解：（ⅰ设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件。
设每周累计户外暴露时间不少于28小时的4为学生分别为a,b,c,d,其中a表示近视的学生，随机抽取2名，所有的可能有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种情况，
其中事件共有3种情况， 即ab,ac,ad,
所以。故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为4分。
ⅱ）根据以上数据得到列联表：
………8分。
所以的观测值，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系。
12分。19. 解：（ⅰ方法一）：由已知。
2分。⊥平面， 平面，∴
4分。设点到平面的距离为， ,
6分。方法二）：由已知。
2分。⊥平面， 平面。
平面⊥平面 ∵平面平面
在平面abcd内，过作⊥，交延长线于，则⊥平面。
的长就是点到平面的距离4分。
在中， =点到平面的距离为6分。
ⅱ）在平面内，过作⊥于，连结，又因为⊥,
⊥平面，平面∴⊥
平面，平面∴⊥
由⊥得10分。
12分。20. 解：（ⅰ焦点为，则，
解得，所以椭圆的标准方程为4分。
ⅱ）由已知，可设直线方程为，
联立得易知则。6分。
因为，所以，解得8分。
联立，得，
设，则10分。
12分。21. 解：（ⅰ当时1分。
令则列表如下：
3分。所以5分。ⅱ）设，
设7分。由得， ，在单调递增，即在单调递增，1 当，即时，时，，在单调递增，又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解9分。
当，即时，由（ⅰ）可知，所以，又。
故，当时，，单调递减，又，故当时，在内，关于的方程有一个实数解1.
又时，，单调递增，且，令， ,故在单调递增，又。
在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，故在内，关于的方程有一个实数解。
又在内，关于的方程有一个实数解1.
综上12分。
22.解2分
所以曲线的极坐标方程为4分。
ⅱ）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，代入曲线得设所对应的极径分别为。
7分。8分。
满足或的倾斜角为或，则或10分。
23．解：（ⅰ因为，所以，解得。
故实数的取值范围为4分。
ⅱ）由（ⅰ）知，，即。 根据柯西不等式。
8分。等号在即时取得9分。
所以的最小值为10分。
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