南京市2011届高三第一次模拟考试（数学）2011.01
2.柱体、椎体的体积公式：，其中s是柱（锥）体的底面面积，是高。
一、填空题：（5分×14=70分）
1.函数的定义域是。
2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为。
3. 已知实数满足则的最小值是。
4.如图所示的流程图，若输入的，则输出的结果为。
5.在集合中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得到点，则点p在圆内部的概率为 .
6.已知平面向量满足，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为。
7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为。
8.在△abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若，则角a的大小为 .
9.已知双曲线c:的右顶点、右焦点分别为a、f,它的左准线与轴的交点为b，若a是线段bf的中点，则双曲线c的离心率为。
10.已知正数数列对任意，都有，若，则= .
11.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面。下列命题：
若则； ②若则；
若则若则。其中真命题是写出所有真命题的序号）.
12.已知，若实数满足，则的最小值是 .
13. 在△abc中，已知bc=2，,则△abc面积的最大值是。
14.若直角坐标平面内两点p、q满足条件：①p、q都在函数的图象上；②p、q关于原点对称，则称点对（p，q）是函数的一个“友好点对”（点对（p，q）与（q，p）看作同一个“友好点对”）.
已知函数则的“友好点对”有个。
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.
15.（本题满分14分）
已知函数的最小正周期为，且。
1）求的值；（2）若，求的值。
16. （本题满分14分）
如图，在棱长均为4的三棱柱中，、分别是bc和的中点。
1）求证：∥平面；
2）若平面abc⊥平面，，求三棱锥的体积。
17. （本题满分14分）
如图，在半径为30cm的半圆形（o为圆心）铝皮上截取一块矩形材料abcd，其中点a、b在直径上，点c、d在圆周上。
1）怎样截取才能使截得的矩形abcd的面积最大？并求最大面积；
2）若将所截得的矩形铝皮abcd卷成一个以ad为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积。
18. （本题满分16分）
在直角坐标系中，中心在原点o，焦点在轴上的椭圆c上的点到两焦点的距离之和为。
1）求椭圆c 的方程；（2）过椭圆c 的右焦点f作直线与椭圆c分别交于a、b两点，其中点a在轴下方，且。求过o、a、b三点的圆的方程。
19. （本题满分16分）
将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
已知表中的第一列数构成一个等差数列，记为，且。表中每一行正中间一个数构成数列，其前项和为。
1）求数列的通项公式；
2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且。①求；②记，若集合m的元素个数为3，求实数的取值范围。
20. （本题满分16分）
已知函数。1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
2）求证：≥0恒成立的充要条件是；
3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围。
南京市2011届高三第一次模拟考试数学附加题 2011.01
21.【选做题】在a、b、c、d四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。
a.选修4-1：几何证明选讲。
如图，ab是半圆o的直径，c是圆周上一点（异于a、b），过c作圆o的切线，过a作直线的垂线ad，垂足为d，ad交半圆于点e.求证：cb=ce.
b. 选修4-2：矩阵与变换。
在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求实数的值。
c. 选修4-4:坐标系与参数方程。
在极坐标系中，圆c：和直线相交于a、b两点，求线段ab的长。
d.选修4-5:不等式选讲。
解不等式。必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。
22.如图，在直三棱柱中，，m是的中点。
1）求证：;
2）求二面角的平面角的大小。
23.已知等比数列的首项，公比，是它的前项和。求证：.
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