第二讲有限差分法基本原理。
一般的流体控制方程都是非线性的偏微分方程。在绝大多数情况下，这些偏微分方程无法得到精确解；而cfd就是通过采用各种计算方法得到这些偏微分方程的数值解，或称近似解。当然这些近似解应该满足一定的精度。
目前，主要采用的cfd方法是有限差分法和有限体积法。本讲主要介绍有限差分法，它也是下一讲中的有限体积法的基础[1]。
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。
2.1 差分和逼近误差。
由于通常数字计算机只能执行算术运算和逻辑运算，因此就需要一种用算术运算来处理函数微分运算的数值方法。而有限差分法就是用离散网格点上的函数值来近似导数的一种方法。
设有的解析函数，从微分学知道函数对的导数为。
分别是函数及自变量的微分，是函数对自变量的导数，又称微商。相应地，上式中的、分别称为自变量及函数的差分，为函数对自变量的差商。在导数的定义中是以任意方式逼近于零的，因而是可正可负的。
在差分方法中，总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有三种形式：
向前差分 向后差分
中心差分 上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，就得到二阶差分，记为。以前向差分为例，有。
依次类推，任何阶差分都可以由低一阶再作一阶差分得到。
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差商为。
一阶向后差商为。
一阶中心差商为。
或。二阶差商多取中心格式，即。
图2.1 差商与导数的关系。
差商与导数的关系可见图2.1。由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。
因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。
现以一阶向前差商为例来分析其精度。将函数在的邻域作taylor展开：
将上式代入一阶向前差商表达式中，有。
这里符号表示与括号中的量有相同的量级。上式表明一阶向前差商的逼近误差与自变量的增量为同一量级。把中的指数作为精度的阶数。
这里，故一阶向前差商具有一阶精度。由于是个小量，因此阶数越大精度越高。采用同样的办法可知一阶向后差商也具有一阶精度。
对于一阶中心差商，将函数与在的邻域作taylor展开并代入一阶中心差商的表达式中，有。
可见一阶中心差商具有二阶精度。同样，二阶中心差商的精度也为二阶。
2.2 差分方程、截断误差和相容性。
从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相。
图2.2 网格划分。
应的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。现以对流方程（2-4）为例，列出相对应的差分方程。
用差商近似代替导数时，首先要选定和，称为步长。然后在坐标平面上用平行于坐标轴的两族直线：
划分出矩形网格，如图2.2所示。这里和取常数。直线称为第层，网格交叉点称为结点。
网格点划定后，就可针对某一结点，例如图2.2中的结点，用差商近似代替导数。现用表示括号内函数在点的值，则对流方程在该点为。
如果时间导数用一阶向前差商近似代替：
空间导数用一阶中心差商近似代替：
则对流方程在点对应的差分方程为。
按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数的误差为，用空间中心差商代替空间导数时的误差为，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，这一误差可由taylor展开确定，即。
这种用差分方程近似代替微分方程所引起的误差，称为截断误差。这里误差量级相当于的一次式、的二次式。
一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为。
这里为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：
初始条件是一种定解条件，差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。将式（2-9）中第时间层的量放在等号左边，将其余时间层的量放在等号右边，有。
称其为ftcs格式（时间前差、空间中差）。若时间和空间都用向前差分，则得。
同样，将第时间层的量放在等号左边，将其余时间层的量放在等号右边，有。
该格式称为ftfs格式。若时间采用向前差分、空间采用向后差分，则得到ftbs格式：
观察这三种差分格式，可以看出若知道第时间层的，则可以由一个差分式子直接算出第时间层的，称这类格式为显式格式。
差分方程的相容性：如果当、时，此差分方程的截断误差的某种范数也趋近于零，则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容。
2.3 收敛性和稳定性。
当步长趋于零时，要求差分格式的解趋于微分方程的解，称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。
在有限差分法的具体运算中，计算误差总是不可避免的，如舍入误差，以及这种误差的传播、积累。如果这一误差对以后的影响越来越小，或是这个误差保持在某个限度内，那么就称这个差分格式在给定的条件下稳定。根据理论分析可以知道，上面介绍的几种差分格式是条件稳定的。
2.4 差分格式介绍。
2.4.1 迎风格式。
前面已经指出，微分问题。
的ftbs格式，在和的条件下稳定，而ftfs格式在和的条件下稳定。这里，当的符号改变时，为了使差分格式稳定，空间差分的方向也作了相应的变化。由于是与速度对应的量，的正负表示速度方向的不同，即表示流（风）向：
为正，看作风向沿着正方向吹；为负，则风朝着负方向吹。而迎着方向往上游取空间差分，所得到的差分格式才可能是稳定的。因为对流方程时的波形传播方向沿轴正向，上游的量经过一段时间要传播到下游，时刻站的量要受到上游站时刻量的影响，故只可以迎着风向取空间差分，而不可以顺着风向取空间差分。
这种格式是迎着风向往上游作差分所得到的，称为迎风格式。上述ftbs格式和ftfs格式都必须在迎风时有条件稳定。
2.4.2 隐式格式。
前面介绍的显式格式往往是有条件稳定的，甚至完全不稳定。如ftcs是完全不稳定的，ftbs格式是条件稳定的。对于ftbs格式，在和的条件下稳定，即要求，当要求空间步长很小时，时间步长也必须取的很小，才能保证格式稳定，而取得小，计算工作量就大大增加，经济上也不合算。
而本节将要介绍的隐式格式常常是无条件稳定的，因此在许多情况下受到重视并被广泛应用。
隐式格式相当于从点出发，用时间的向后差分把第时间层的量与已知时间层的量联系起来。现以对流方程为例，从点出发取btcs差分可得。
或改写为。
由于该方程含有三个第时间层上的函数值，即一个方程含有三个未知量，必须解联立方程才能得到第时间层上的未知量，故称该格式为隐式格式。
可以证明，用于对流方程的隐式格式是完全稳定的。由于完全稳定，时间步长可以取得大些，从这一点来说，工作量减少了。但隐式格式要解代数联立方程组，在每一时间步长内工作量有所增加。
2.5 耗散与色散。
现以对流方程为例，采用时间向前差分、空间向后差分：
利用taylor展开，得到：
上式就是差分方程（2-16）实际所模拟的微分方程，与原对流方程相比，多了二次导数项和三次导数项。一般说：截断误差中含偶次导数项时，将引起耗散。
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