14-1设有一梯形断面渠道，底宽b=5m，边坡系数m=1.0，当通过流量q=20m3/s时，试用牛顿迭代法求渠道的临界水深hcr。
解：由临界水深的计算公式：。
其中 ，代入可得
令 其一阶导数为。
运用牛顿迭代法，其迭代格式为。
取初值 h0=1.5m
得 hcr=1.09m
14-2 如图所示，水从池中经管道流出，已知管长，沿程阻力系数，局部阻力系数，水位，设计流量，试用牛顿迭代法求管径d。
解：列出水面和管道出口截面的伯努利方程。
以 α=1，ζ=6，λ=0.03，，
代入上式，化简得。
6717d 5－7d－1.5=0
令 x=10d，则上式化为。
f (x)=0.06717x5－0.7x－1.5
因为 f (2)=－0.751
因此，选x0=2作为初值，应用迭代法。
经3次迭代，得x=2.137360117,误差小于10-6，因此，管径d=0.214m，根据工程需要，按技术经济比较，取产品标准管径。
14-3 已知下列数据，试用一次代数多项式对其进行拟合。
解：可设一次拟合函数为：y=a0+a1x，根据已知可列表如下：
所以正规方程组为：
解方程组得：
a0 =70.57，a1=0.29
故得拟合一次曲线为：
y=0.29x+70.57
14-4 利用泰勒级数，导出一次前差分和后差分表达式。
解：在y方向上，对（i，j）点附近进行泰勒级数展开。
即为向前差分式：
同样由泰勒展开式：
可得向后差分式：
14-5 利用泰勒级数，导出的二次中心差分表达式。
解：若将题14-4中式（1）、（2）相减得中心差分：
14-6已知某一抽水井附近区域100m≤x≤400m，0m≤y≤300m的边界上水头已测出，如图所示，考虑稳定渗流情况，用有限差分法求解域内水头分布。
解：二维稳定渗流势函数满足拉普拉斯方程。
这样，拉普拉斯方程在点简化成。
根据已知边界节点值，将求解区域划分成正方形网格，步长，。
对区域内四个未知节点都可以写成（14-27）形式，如下。
对于内节点 ，，
对于内节点 ，，
内节点。内节点。
设，，，则。
则： 用列主元高斯消去法，解得，，，
即： m， m， m， m
14-7水在两平板间流动，上板壁的渗透速度，下壁不可渗透，入口和出口速度分布均匀，分别为和，如图a所示。设板长l=3m，宽h=1.5m，将长和宽分成3等分，如图b所示，。
试用有限差分法求解内部节点的流函数值。
解：下壁面是一条流线，取其流函数为零，即。
在左边入口处。
因而 在右边的出口处。
因而。在上壁面 ，因而。
网格长度的比值。
利用式（14-27）建立4个节点的代数方程。
点（2，2）
点（2，3）
点（3，2）
点（3，3）
上面这四个代数方程可用矩阵表示。
利用高斯消元法解此线性代数方程组，得，
于是，各节点的流函数的数值为。
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