第1章：反比例函数。
1、反比例函数的概念。
一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：
（a）y =（k ≠ 0）（b）xy = k（k ≠ 0）（c）y=kx-1（k≠0）
同步训练：1、已知函数y＝（m＋1）x是反比例函数，则m的值为 .
2、已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式。
2、反比例函数的图像和性质。
反比例函数(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。当时，图象在。
一、三象限：当时，图象在。
二、四象限。
反比例函数(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
3、反比例函数解析式的确定。
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
4、反比例函数中反比例系数的几何意义。
过反比例函数图像上任一点p作x轴、y轴的垂线pm，pn，则所得的矩形pmon的面积s=pmpn=。
同步训练：1．反比例函数的图象与正比例函数y=3x的图象，交于点a（1，m），则m反比例函数的解析式为这两个图象的另一个交点坐标是。
2．已知（），是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是（ ）
（a） （b）
（c） （d）
5、比较正比例函数和反比例函数的性质。
同步训练：1、已知关于x的函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
2、已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点。
1）分别求这两个函数的解析式。
2）试判断点关于x轴的对称点是否在一次函数的图象上。
第二章：二次函数。
1、二次函数定义：一般地，如果是常数，，那么叫。
做的二次函数。
2、二次函数的解析式有三种形式：
1）一般式：
2）顶点式：
3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
3、二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴。
的抛物线。4、二次函数用配方法可化成：的形式，其中。
5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式。
6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①的符号决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；
当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于轴（或重合）的直线记作。特别地，轴记作直线。
7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
8、求抛物线的顶点、对称轴的方法。
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线。
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)对称轴是直线。
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。
9、抛物线中，的作用。
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线。
的对称轴是直线，故：
①时，对称轴为轴；
②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；
③（即、异号）时，对称轴在轴右侧。
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：抛物线经过原点； ②与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴。
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。如抛物线的对称轴在轴右侧，则。
10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11、用待定系数法求二次函数的解析式。
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通。
常选择一般式。
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择。
顶点式。（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
12.、直线与抛物线的交点。
（1）轴与抛物线得交点为(0,).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,)
（3）抛物线与轴的交点。
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离。
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点。
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点； ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故。
同步训练：1、已知函数的图像经过点（2，-3）
1）求这个函数解析式。
2）求图像与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，并画出函数大致的图像。
3）当x≥2时，求y的取值范围。
2、已知函数的图像经过。
一、二、四象限，则函数的图像必不经过第象限。
3、抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
第3章：圆的基本性质。
一）圆的定义。
在同一平面内，一条线段op绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点p所经过的封闭曲线叫做圆．定点o就是圆心，线段op就是圆的半径．以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”．
二）圆的有关概念。
弦直径圆弧半圆劣弧优弧等圆同心圆。
1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图bc．经过圆心的弦是直径，图中的ab。直径等于半径的2倍．
2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以b、c为端点的劣弧记做“ ”大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的 ．
3)半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆．例如，图中的⊙o1和⊙o2是等圆．
圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上．即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
例在a地往北80m的b处有一幢房，西100m的c处有一变电设施，在bc的中点d处有古建筑．因施工需要在a处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？
三）三点确定一个圆？
1：经过一个已知点a能作多少个圆？
结论：经过一个已知点a能作无数个圆！
2：经过两个已知点a,b能作多少个圆？
结论：经过两个已知点a,b能作无数个圆！
讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？
讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？
3：经过三个已知点a、b、c能作多少个圆？
讨论1：怎样找到这个圆的圆心？
讨论2：这个圆的圆心到点a、b、c的距离相等吗？ 为什么？即oa=ob=oc
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
四）平面上点与圆的位置关系。
一般地，如果p是圆所在平面内的一点，d表示p到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：
dd=r p在圆上。
d>r p在圆外．
五）圆的有关概念。
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
举例、1：⊙o是△abc的外接圆， △abc是⊙o的内接三角形，点o是△abc的外心即外接圆的圆心。
2：三角形的外心是△abc三条边的垂直平分线的交点。
2：练一练。
a：下列命题不正确的是。
a.过一点有无数个圆。 b.过两点有无数个圆。
c.弦是圆的一部分。 d.过同一直线上三点不能画圆。
b：三角形的外心具有的性质是。
a.到三边的距离相等。 b.到三个顶点的距离相等。
c.外心在三角形的外。 d.外心在三角形内。
知识小结。1：不在同一直线上的三点确定一个圆。
—你知道是怎样的三点吗？
2：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点，连成两条线段，再做两线段的垂直平分线，则其交点即为所求的圆心。
—你会画了吗？
3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念。
—你会辨别吗？
六）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论1 1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
例一条排水管的截面如图所示．排水管的半径ob=10，水面宽ab=16，求截面圆心o到水面的距离oc ．
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