《混合运算》单元分析。
小学数学整数的混合运算以两步计算为主，一般不超过三步。两步计算的算式里通常只有两个运算，只应用一条运算顺序。三步计算的算式里通常有三个运算，进行第一步运算往往要同时兼顾两条运算顺序。
显然，两步计算的混合运算比三步计算的混合运算容易得多。教科书考虑到三年级学生的实际水平，本单元只教学两步计算的混合运算。编排三道例题：
例1乘法和加（减）法的混合运算，例2除法和加（减）法的混合运算，例3含有小括号的混合运算。教科书把“算式中有乘除法，也有加减法，要先算乘除法，后算加减法”这一条运算顺序，分成“有乘法也有加减法”“有除法也有加减法”两段，各编排一道例题教学。这是因为本单元只涉及两步计算的混合运算，在含有不同级运算的式子里，只会是乘法与加法、乘法与减法、除法与加法、除法与减法四种情况，不可能既有乘法与除法，又有加法与减法。
先编排乘法与加法或减法的混合运算，再编排除法与加法或减法的混合运算，降低了认知难度，能够方便教与学。在一个混合运算的算式里，如果加上小括号，就会改变算式原来的运算顺序。例3教学小括号的知识，既要学生认识小括号，知道其作用，又要学生体会含有小括号的混合运算的顺序，知道要先算小括号里面的运算。
教**算顺序的三道例题，设计了不同的教学方法。
1.例1的教学方法是先唤醒已有经验，再扩大外延，在同一类型的多种具体现象中抽取共同的特征，这就是教学的运算顺序。
例题先分步解答“买3本笔记本和1个书包一共用去多少元”这个实际问题，再列出综合算式5×3+20，这是学生在二年级上册已经接触过的“乘加”，他们已经有“先算乘法”的经验。教材及时指导学生用递等式按步骤计算，写出两步计算的过程，初步感受运算顺序。
例题接着解决“买2盒水彩笔，付出50元，应该找回多少元”这个实际问题，直接列出综合算式50-15×2，让学生结合实际问题想到要先算2盒水彩笔的钱，从而体验这个算式要先算乘法。例题要求学生用递等式写出混合运算的步骤，亲自践行“先算乘法、后算减法”的运算顺序。
例题总结5×3+20和50-15×2的运算顺序，得出“算式中有乘法和加、减法，应先算乘法”的规律，这是例1所教学的运算顺序。
从上面的分析可以看到，运算顺序是例题的教学重点，列综合算式与用递等式计算是与运算顺序有关的两个知识点，而且是教学难点。有关综合算式的教学在后面说明，这里只说递等式计算。
综合算式要按运算顺序分步计算，含有两个运算符号的算式一般分两步计算。递等式的第一步先进行一个运算，并写出这一个运算的得数，暂时不进行的另一个计算照原来样子写下来。学生初学递等式会显得不太习惯，并出现一些错。
误。为此，可以在综合算式里先进行的那步运算的下面画一条横线，并把得数写在横线下面。至于综合算式里没有画横线的运算，照样子写在原来的位置上。如：
35吗=20教材考虑到学生独立书写递等式的困难，所以“想想做做”第1题在递等式中留出一些方框，让学生在方框里填数，“扶”着他们写出递等式。第2题罗列了写递等式的一些常见错误，让学生识别并改正，帮助他们掌握递等式的写法。
2.例2仍然按照“解决实际问题—计算数学式子—概括运算顺序”的线索教学，给学生的活动空间比例1大。
已知一个订书机12元，一盒钢笔有5支，每盒40元。求买一支钢笔和一个订书机一共应付多少元。根据所求问题的数量关系式列综合算式，可以写成40÷5+12，可。
以写成12+40÷5。两个算式虽然不完全相同，但都要先算一支钢笔的价钱，即先算式子里的“40÷5”。比较这两个综合算式，都有加法和除法，无论除法在加法的前面还是在加法的后面，都需要先算一支钢笔的价钱。
这就表明，算式里有加法和除法，应该先算除法。
试一试”求“1盒水彩笔比一支钢笔贵多少元”，列出的综合算式“15-40÷5”里有除法和减法，为了先求出一支钢笔的价钱，应该先算除法。
概括例题和“试一试”里的运算顺序，可以得出“算式中有除法和加、减法，应先算除法”。
上述的例题和“试一试”，呈现实际问题的情境以后，综合算式要学生列，运算顺序要学生体会，递等式要学生完成，给了学生较大的活动空间。由此得出的运算顺序就不是机械接受的知识，而是意义建构的数学认识。学生已经有用递等式表示运算顺序的经验，例题让他们完成两个综合算式的计算，注意到这两个综合算式都先算除法，但除法在综合算式里的位置不同，商应写的位置随之也不同。
3.例3凸显新的认知矛盾，引出小括号，指出小括号的作用，形成含有小括号的算式的运算顺序。
例3要解决的实际问题是“用50元钱买1个单价20元的书包，剩下的钱还能买几本单价5元的笔记本？”无论先分步解答，再合并成综合算式，还是直接列综合算式，学生都可能写成“50-20÷5”。这就出现了一个矛盾：
解决实际问题需要先算买了1个书包后还剩下多少钱（即先算综合算式里的减法），而算式50-20÷5应该先算除法（已有的运算顺序）。怎样解决这个矛盾？教材告诉学。
生：“这里要先算减法，列综合算式必须添上小括号”，并把综合算式改写成“（50-20）÷5”。这句话既引出了小括号，又阐述了小括号的作用。
因此，算式里有小括号时，应该先算括号里的运算。学生在认知冲突中意义接受了小括号的知识，体会到运算顺序是合理的规定。
在教**算顺序的同时，教学列综合算式解答两步计算的实际问题过去，学生解答两步计算实际问题都分步列式。本单元列综合算式解答两步计算的实际问题，为教**算顺序找到了载体，也进一步提高了学生解决实际问题的能力。况且，学生已经两次学习了解决问题的策略，既能够从条件向问题推理，也能够从问题向条件推理，具备了学习综合算式的条件。
教材在教学综合算式时作了下面的安排。
1）初步体会。
列解决实际问题的综合算式，一般有两种方法。一种是先列出分步解答的算式，通过“代入”，把分步算式合并成综合算式。另一种是根据所求问题的数量关系式，不经过分步解答，直接列出综合算式。
解答例1的第一个问题，采用了分步算式合并成综合算式的方法，即把第一步求3本笔记本要多少元的算式“5×3”代替第二步算式里的“15”，形成求“一共用去多少元”的综合算式“5×3+20”。
解答例1的第二个问题，采用了直接列出综合算式的方法。所求问题的数量关系式是“从50元里去掉2盒水彩笔的钱，就是应找回的钱”，其中2盒水彩笔的钱要通过“15×2”先算出来，综合算式列成“50-15×2”。
解答第一个问题采用分步算式合并成综合算式，能够让学生体会什么是分步列式、什么是综合算式，感受列综合算式解决问题比分步列式快捷。解答第二个问题直接列出综合算式，希望学生学会这种方法，使用综合算式解答两步计算的实际问题。
2）逐渐学会。
学生列综合算式不能长时间停留在先分步解答，再把分步算式合并的方法上。因为分步解答已经解决了实际问题，再列综合算式对解题就没有意义了。所以，要让学生学会直接列出综合算式的本领。
例2以及“试一试”“想想做做”里，继续解答“求两个数一共多少”“求两个数相差多少”等两步计算的问题，都是学生比较熟悉的问题，他们能够顺利地说出所求问题的数量关系式，即能够找到直接列出综合算式的“参照物”。综合算式可以依据所求问题的数量关系式列出。在两步计算问题的数量关系式里，一般直接已知一个数量，间接给出另一个数量。
直接已知的数量可以直接应用到综合算式里去，间接给出的数量可以用算式表示。教材突出列综合算式时应该依据问题的数量关系式，引导学生逐渐养成先思考所求问题的数量关系，再列出综合算式的习惯。例2里两个小**的交流“用1支钢笔的价钱加上一个订书机的价钱”“用1个订书机的价钱加上1支钢笔的价钱”，讲的都是所求问题的数量关系，是列出综合算式的依托。
“试一试”和“想想做做”里的实际问题，都应要求学生直接列出综合算式解答。
3）学习思辨。
例3的解题思路是先算出买书包后剩下的钱，再算剩下的钱还可以买几本笔记本，解决问题的数量关系是“剩下的钱÷笔记本的单价”。在算式50-20÷5里，有减法和除法，应该先算“20÷5”，与解决实际问题的步骤有矛盾。为了先算这个算式里的减法，需要在算式里添上括号，把减法那部分括起来，让它先算。
这里就有对算式50-20÷5进行思辨的活动，在算式里添上小括号是思辨的结果。
要重视这样的识别能力与习惯的培养。配合例3的“想想做做”第4题，买一件上衣要48元，买一条裤子要36元。买15套这样的衣服应付多少元？
解答这个问题要先算出1套衣服的价钱，即先算出买1件上衣和1条裤子一共要的钱，再算买15套应付多少元。
教**算性质，可以让学生每次计算一个题组，比较同组两题的相同点和不同点；发现得数一样，体会其原因；用自己的语言说说两道题的联系，想想怎样把一道题变成另一道题。
练习五第7题要求“不计算”就比较两个算式的大小。分别是40×5+3与40×（5+3），162-24÷6与（162-24）÷6，137-75-25与137-（75-25）。从表面上看，同组的两个算式“大同小异”，算式里的数以及排列位置相同，它们的运算符号也相同。
只是一个算式没有括号，另一个算式有括号。正是“小异”使两个算式的运算顺序不同，结果不同。让学生判断哪个算式的得数大、哪个算式的得数小，有两点作用：
一是教育学生仔细审题，看清楚每一个数和运算符号，看清楚有没有括号，认真思考运算顺序，确定每一步的计算内容。二是促进学生开展判断与推理，发展数感。如，40×5+3是40乘5的积加3，而40×（5+3）是40乘8，显然，后者比较大。
又如，137-75-25是137先减去75，再减去25，，而137-（75-25）是137减去50，应该是前者比较小。教学这道题要提醒学生不算出最后结果，而是通过比较两个算式的构成，估计它们的结果谁大、谁小。要让学生相互交流各自的思考，在整理和表述自己的想法时，数感会有所发展。
练习五第10题给出长方形的周长公式“长方形的周长=（长+宽）×2”。要求学生根据这个公式，列综合算式求长方形的周长。三年级上册教学长方形和正方形的周长时，只给出正方形周长计算公式，没有给出长方形周长计算公式。
这是因为求正方形周长只要“边长×4”，只有一步计算；求长方形周长要先算“长+宽”的和，再“乘2”，有两步计算。那时的学生还不会列综合算式，不知道运算顺序，没有条件理解长方形周长公式。现在通过实际问题，给出长方形的周长公式，有弥补以前不足的作用。
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