小学数学教材（北师大版）
五年级下册教材解析。
依据整套教材的设计和安排，本册教材共安排了八个单元。其中，原四年级上册“确定位置（二）”（用方向和距离确定位置）、四年级下册“邮票的张数”（用方程解决问题）移至五年级下册；原五年级上册“分数加减法”“相遇”问题后移到五上级下册；原五年级下册“分数混合运算”“百分数的认识”“百分数的应用”“扇形统计图”后移到六年级上册；重新梳理了“统计与概率”的内容，将原六年级上册的“复式条形统计图”和“复式折线统计图”移至五年级下册，并增加了“平均数的再认识”。
与原教材相比，本册教材更加关注知识、方法的形成过程，注重积累数学活动经验，凸显数学思想的渗透，重视学生问题能力的发展。下面，就以下几个核心问题的变化，以及教学中如何把握和使用，与大家交流。
一、借助直观，突破难点。
在分数运算的学习中，如何借助直观模型，突破学习难点，丰富学生的数学体验和思维的经验？
本册教材对分数运算的学习，安排了三个单元，分别是第一单元“分数加减法”、第三单元“分数乘法”和第五单元“分数除法”。在这三个单元的学习中，教材特别强调借助直观模型，促进学生理解分数加减法、分数乘除法的意义和相应的计算方法，以丰富学生的数学体验和思维经验。
例如，在异分母分数加减法的计算中，教材创设了“折纸”这一情境（图1），让学生通过折纸活动，借助分数的面积模型，体会异分母分数相加（+）的意义和过程；再根据涂色部分占这张纸的，获得正确的结果。这样编排的目的，是帮助学生理解计算异分母加减法的道理。用+作为异分母分数加减法的引入例题，是考虑到在这两个异分母分数中，是分母最小的真分数，的分母4是分母2的2倍，计算较为简单，这样有利于学生将注意力放在算理的理解及方法的探索上。
图1又如，“分数乘法（三）”主要是理解分数乘分数的意义，探索分数的计算方法，是分数乘法中的重点与难点，学生学起来比较困难。教材用分数乘法诠释我国古代哲学著作中的数学思想（图2），借助直观图，帮助学生理解分数乘分数的意义及计算方法，丰富学生的数学体验和活动经验。
图2再如，“分数除法（二）”是进一步理解分数除法的意义，探索一般的分数除法的计算方法（除数是分数的除法）。它是分数除法中的重点和难点。为此，教材材依然利用直观模型帮助学生学习这部分知识。
教材设计的第一个问题是结合分饼的活动，借助分数的面积模型探索一个数除以一个不为零的数（除数是非零整数和分数两种情形）的计算方法。接下来，教材借助长方形的面积模型（图3），不遗余力地促进学生进一步理解分数除法的运算法则，强化学生对一般的分数除法算理的理解。
图3二、具体操作，探索特征。
如何借助观察和具体操作，经历探索长方体、正方体特征的过程，发展空间观念？
在学生自主探索长方体、正方体特征的过程中，教材强调以体现知识的形成过程、多角度理解、将知识和技能加以应用等形式，促进学生对概念的理解，发展空间观念。
例如，在“长方体的认识”一课中，教材先引导学生认识长方体、正方体的面、棱和顶点等结构要素，再通过具体操作，鼓励学生通过合作学习探索这些结构要素的特点，进而认识长方体的长、宽、高，理解正方体是特殊的长方体。接下来，教材又设计了后续的探索活动，进一步促进学生对长方体特征的理解。
一是认识长方体是由6个长方形围成的立体图形（图4），要求学生从给出的8个不同尺寸的长方形和正方形中，选出能组成一个长方体的6个面。通过这个活动，让学生经历**长方体区别于其他立体图形的本质特征的思维过程，体会长方体就是由6个长方形转成的六面体。
图4二是借助“展开与折叠”的活动，进一步深化对长方体、正方体特征的认识，并通过立体图形与平面图形相互转化的空间想象和推理活动，积累活动经验，发展空间观念。
三、借助教材，理解意义。
如何让学生感受体积、容积单位的实际意义？教材提供了哪些帮助？
重视对测量单位实际意义的体会是本套教材的一个重要特点。体积和容积单位是比较抽象的概念，为丰富学生的感性认识，加强学生对体积单位实际意义的理解，教材通过安排动手操作、寻找生活中相应体积的物体等活动，引导学生把体积、容积单位与生活中熟悉的事物建立联系，从而感受1cmdmml和1ml的实际意义。
例如，学习1cmdmm3时，在结合直观模型引入体积单位的基础上，教材结合学生的生活经验，安排了“做一做、看一看”的活动（图5），即“用橡皮泥切出一个1cm3的正方体”“用硬纸板做一个体积是1dm3的正方体盒子”“用米尺搭出一个1m3的空间”，以此启发学生借助“做数学”的形式，从多个角度直观感受1cmdmm3的实际大小。
图5又如，在学习升和毫升中时，教材在结合实物引导学生认识升、毫升后，设计了“看一看，做一做”的活动（图6），呈现了学生常见的“饭盒能装1dm3的水”“1ml的水大约有20滴”等信息，使学生感受升、毫升的实际意义，建立测量单位与生活经验之间的联系。
图6四、寻找等量，方程求解。
在用方程解决简单实际问题的过程中，教材是如何帮助学生经历寻找数量之间的相等关系及列方程求解的全过程的？
对于式与方程的学习，本套教材安排了四次。第一次是第五单元“分数除法”中，安排了运用方程解决简单的分数问题；第二次是第七单元“用方程解决问题”，安排了解形如2x+x=3的简单方程及运用方程解决问题的内容，目的是进一步加深学生对方程作为一种重要数学思想的理解。
在用方程解决简单实际问题的过程中，教材重视让学生经历三个关键步骤：一是根据题意找出数量之间的等量关系；二是根据等量关系列出方程；三是解方程。教材特别关注运用不同的直观模型表示数量之间的相等关系，帮助学生分析和解决问题，经历寻找实际问题中数量之间的相等关系、列方程求解的全过程，发展数学思维。
例如，分数除法应用问题历来是教学中的难点，在“分数除法（三）”中，为了突破这一难点，教材鼓励学生用方程解决简单的分数除法问题。为此，教材借助操场上的活动为学生创设问题情境，设计了三个问题，让学生经历解方程的全过程。问题1是借助分数的面积模型分析数量关系；问题2是找等量关系；问题3是列方程解决问题。
三个问题循序渐进，比较好地帮助学生克服了学习的难点。
又如，“相遇问题”一课是第七单元“用方程解决实际问题”中的内容，教材创设了“淘气、笑笑同时从家里出发，在途中相遇”的情境（图7），并借助简单的路线图等方式呈现速度、路程的信息，设计了四个问题，鼓励学生经历解决问题的全过程。
教材在关键信息的理解上特别下功夫。要解决淘气和笑笑出发后多长时间相遇，关键是找出数量间的相等关系。教材借助学生作品，利用线段图表示中数量之间的相等关系，让学生直观地观察到“淘气走的路程+笑笑走的路程=840米”。
同时也给出了根据等量关系列出方程求解的过程，目的是让学生经历列方程解决问题的全过程，提高学生解决问题的能力。
图7五、积累数据，培养观念。
教材中编排了“平均数的再认识”，对学生逐步形成数据分析观念有什么帮助？
平均数是在日常生活和工农业生产中广泛使用的一个重要的统计量，它既可以反映出一组数据的集中趋势，也可以用来进行不同组数据间的比较，反映组与组之间的差别。教材在学生认识平均数，能用自己的语言解释其实际意义的基础上，特别编排了“平均数的再认识”一课，帮助学生进一步加深对平均数的认识，体会平均数的实际应用价值，积累分析和处理数据的方法，发展数据分析观念。
此外，教材通过引导学生分析北京市6岁男童身高的平均值（119.3cm岁女童身高的平均值（118.7cm），解释免票线1.
2m的合理性，以及根据所学的统计知识，解释在大奖赛中通常会去掉一个最高分和一个最低分的合理性等，丰富学生学习统计的现实背景，使学生懂得数据可以用来描述现象、解释问题和作出**，体会数据分析是统计的核心。
北师大版小学五年级教材目录
第九册。一 倍数与因数 数的世界。的倍数的特征。3的倍数的特征。找因数。找质数。数的奇偶性。二 图形的面积 一 比较图形的面积。地毯上的图形面积。动手做。平行四边形。三角形的面积。梯形的面积。三 分数 分数的再认识。分饼。分数的基本性质。找最大公约数。约分。找最小公倍数。分数的大小。数学与交通 相遇...
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