第一章数的整除。
1. 零和正整数统称为自然数。正整数、零、负整数统称为整数。
2．整除：整数除以整数，如果商是整数而余数为零，我们就说能被整除，或者说能整除。
用式子表示：如果(其中、、都为整数)称能被整除或能整除。（区分两种表述）
1）整除的条件：
除数，被除数都为整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
2）注意“整除”和“除尽”相区别，“除尽”指的是两个数（未必是整数）相除，商是整数或有限小数。
4．因数和倍数：整数被整数整除，叫的倍数，叫的因数(约数)。因数和倍数是相互依存的。
1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，最大的倍数不存在。
5．能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8
能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5
能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0
能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除（这是分数约分时比较容易疏忽的）
能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除。
6. 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫奇数。
奇数：1,3,5,7,9,11,13,……偶数：2,4,6,8,10,12,14,……特别地，0也是偶数。
7. 素数（质数）与合数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数；
如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数，合数总可以写成几个素数相乘的形式。
注意：1既不是素数也不是合数，2是最小的质数，4是最小的合数。
100以内的素数（共25个，请看下表），特别注意：51和91不是素数。
熟记20以内的全部素数（请默写出来。
8. 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。(短除法一定要掌握),
9. ●几个整数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做最大公因数。
求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数。
连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个。
数互素，那么它们的最大公因数是1。
特殊情形下的最小公倍数快速求法：两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数；如果这两个数互素，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。
两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
特别注意：两个数都是素数，它们一定互素。但是两个互素的数不一定都是素数，比如8和9互素，但它们都是合数；比如4和7互素，但4是合数，而7是素数。
第二章：分数。
1. 两个正整数相除，它们的商可用分数表示。被除数除数=.
用字母表示： (都为正整数) (特别地，当时)
整数看成是特殊的分数，即分母为1的分数。
2. 数轴问题：（主要两类问题必会，一定要看清楚每个单位长度是代表多少）
1）用数轴上的点表示分数。
2）写出数轴上点所表示的分数。
3. 分数的基本性质。
分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等。
即。4．（重点概念）分子和分母互素的分数数叫最简分数。
求一个数是另一个数的几分之几用除法，如是的几分子几，写成（及相关应用题）
5. 将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的通分母的分数。这个过程叫做通分。
通分的依据是分数的基本性质。
6．分数的加加法：关键是通分。
1、分母相同的分数相加减：分母不变，分子相加减。 最后别忘了化成最简分数。
2、分母不相同的分数相加减：先通分，再按分母相同的方法去做。
7．分数乘法。
一）分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。
2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。
二）分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
注意 （1）分数的化简：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
2）关于分数乘法的计算：
可在乘的过程中约分，也可将积的分子分母约分，提倡在计算过程中约分，这样简便。
3）当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
三）、规律：（乘法中比较大小时）
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。
一个数（0除外）乘1，积等于这个数。
四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：或。
8．分数乘法的解决问题：已知整体，求部分，用乘法。
已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）
1、找单位“1”： 占”、“是”、“比”的后面。
2、求一个数的几倍是多少； 求一个数的几分之几是多少。用乘法列式计算。
9．倒数。1）倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。
互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。)
2）求倒数的方法：
1）求分数的倒数：交换分子分母的位置。
2）求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
3）求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
4）求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3）1的倒数是1； 0没有倒数。
4）真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
10．分数除法。
1）分数除法的意义：
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
2）分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3）规律（分数除法比较大小时）：
1）当除数大于1，商小于被除数；
2）当除数小于1（不等于0），商大于被除数；
3）当除数等于1，商等于被除数。
4、分数混合运算顺序：
（1）同级运算要按从左往右顺序计算。
（2）先算乘、除后算加、减，有括号的，要先算括号里面的。
3）一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。
4）能用运算律的要用运算律。（巧妙计算）
11．分数除法解决问题：已知部分，求整体，用除法。
已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 ）
第三章：比和比例。
1．比的概念：
1）、是两个数或两个相同的量，为了把和相比较，将与相除，叫做与的比，记作或写成，其中。 读作比，或与的比。
其中叫做比的前项，叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。
2）比和分数以及除法三者之间的关系：
比： 前项后项＝比值。
分数：（分子÷分母＝分数值）
除法：被除数÷除数＝商。
3）比的基本性质：
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
三连比的性质：如果，那么
如果，那么。
当时，要将，，写成三联比的形式，那么首先要将两个式子中所对应的比值进行调整，调整到一致：
最后在得出的结果中约去他们的最大公因数即可。
或者直接寻找和的最小公倍数，将和直接调整到这个数值，那么根据的变化，对进行相同的变化，根据的变化对进行相同的变化。
例如：已知，求。
我们先改写为。
那么。4）、、四个量中，如果，那么就说、、、成比例，也就是表示两个比相等的式子成比例。（可以用分数的约分去理解）
5）百分比：把两个数的比值写成的形式，称为百分数，也叫做百分比或者百分率。
记作。 其中叫做百分号（按比例来理解可理解为）
百分数和分数的区别：百分数只能表示两个数的比的关系，而分数不仅可以表示数的关系，还可以表示成一个具体的量，可以带上单位名称。
百分数和小数及分数的互化。
小数化成百分数：把小数点向右移动两位再在数的后面加上百分号。
百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
百分数化成分数：化成分母是100的分数，能约分的要约分。如果百分数分子是小数，要先根据分数的基本性质，把百分数改写成分数是整数的分数，再约分。
分数化成百分数有两种方法：
一种是根据分数的基本性质，把分数的分母化成为100的分数，然后改写成百分数。
另一种是先把分数化成小数，在利用小数化百分数的方法。（利用第二种时，除不尽，通常保留三位小数）
6）用百分数解决问题：
在生产工作中常用的百分率有：
注意看清楚：合格产品数量，不合格产品数量，产品总数量）
注意分母是原来的产量，而不是后来的产量）
注意分母是原来的基数，而不是后来的数目）
利润问题：盈利（售价高于成本）：
解决：已知售价和成本，求利润率？已知成本和利润率，求售价？已知售价和利润率，求成本？
亏损（成本高于售价）：
解决：已知售价和成本，求亏损率？已知成本和亏损率，求售价？已知售价和亏损率，求成本？
存款问题：（1）利息=本金×利率×期数；本利和=本金+本金×利率×期数。
2）税后；税后本利和=本金+本金×利率×期数×（1－税率）
注意：①一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
解答百分数应用题时，要注意弄清楚谁和谁比，比的标准不同，单位“1”也不同，解题时要注意找准把谁看单位“1”。
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