奥赛专题 --抽屉原理
例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？
分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？
分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。
所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。
所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。
思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？
例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。
奥赛专题 --还原问题
例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？
分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是 1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：
（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
还原问题的一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的逆运算。
例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？
分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助**倒推，既能理清数量关系，又便于验算。
奥赛专题 --鸡兔同笼问题
例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚。
那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了。所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
28（只）
免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差。这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只。因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡。每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只。
那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？
分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了。由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。
结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人。三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？
解法1： 一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
分析2] 假设。
一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人。这时的总人数又该是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船。每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
分析] 我们分步来考虑：
假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
18÷2=9（条） 10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
分析] 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题。观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。
我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛。这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数。
再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
6×18=108（条）
有蜘蛛多少只？
118-108）÷（8-6）=5（只）
蜻蜒、蝉共有多少只？
18-5=13（只）
假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）
蜻蜒多少只？
20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只。
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