数学总复习
第一章数和数的运算
第一节数的认识
知识要点 1、数的意义
1）自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0，1，2，3，……都叫做自然数。1是自然数的记数单位。
自然数既可以表示事物的多少（基数），也可以表示事物的次序（序数）。如“每星期7天”中的“7”表示的是基数，“5月3日”中的“5”和“3”表示的是序数。一个物体也没有就用0表示。
0是最小的自然数。
2）整数和自然数：自然数都是整数，但只是整数的一部分（整数还包括负整数）。最小的一位数是1而不是0。
0的作用：①在数字中起占位作用，表示该位上没有单位；②表示起点；③表示界线。如温度计、数轴上的0，表示正、负数的分界线。
3）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数就是分数单位。
分数与除法的关系：分数是一种数，除法是一种运算，它们是两个不同的概念，但它们也有密切的内在联系。如：
4）小数：把整数“1”平均分成10份，100份，1000份……这样的一份或几份是十分之几，百分之几，千分之几……可以用小数表示。
小数的分类：
5）数位、位数和计数单位：各个计数单位所占的位置叫做数位。一个自然数含有数位的多少叫做位数。整数和小数都是按照十进制计数法写出的数，其中个、十、百……以及十分之。
一、百分之一……都是计数单位。
6）整数和小数数位顺序表：
7）百分数、成数和折扣：
百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。
成数：农业上常用的名词。几成就是十分之几。
折扣：商业上常用的名词。几折就是十分之几。
注意：百分数、成数和折扣只表示两个数的倍比关系，而分数除了表示倍比关系外，还可以是一个具体数量。
2、数的读法和写法
1）整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。
2）整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
3）小数的读法和写法：整数部分按整数来读（写），小数点读作点，小数部分依次读（写）出每一位上的数。
3、数的改写
1）多位数的改写和省略：为了读写方便，我们常把一个较大的多位数，写成用“万”或“亿”作单位的数，先找到万位或亿位，再在万位或亿位上数的右下角点上小数点，并在后面写上“万”或“亿”，要用“=”有时也可以根据需要省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。省略一般用“四舍五入法”，结果用“≈”
2）分数、小数与百分数的互化：
3）一个最简分数，如果分母中含有2和5以外的质因数，则这个分数不能化成有限小数。
4、数的大小比较
1）整数的大小比较：先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。
2）小数的大小比较：先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数大；整数部分相同，再看它们的小数部分，从高位看起，依数位比较，相同数位上的数大的那个数就大。
3）分数大小比较：分母相同的分数，分子大的分数大；分子相同的分数，分母小的分数大。分母不同的分数，先通分再比较。
第二节数的整除和分数、小数的基本性质
知识要点 1、数的整除
1）整除的意义：在小学阶段讲“数的整除”时所说的数一般指非0自然数。
数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b整除，或者说b能整除a。
2）约数和倍数：如果a能被b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
3）奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数，因为0也能被2整除，所以最小的偶数是0；不能被2整除的数叫做奇数，最小的奇数是1。
4）能被2，3，5整除的数的特征：
能被2整除的数：个位是0，2，4，6，8。
能被3整除的数：各位上的数的和能被3整除。
能被5整除的数：个位上是0或5。
5）质数和合数：一个数如果只有1和它本身两个约数，叫做质数；一个数，如果除了1和它本身，还有别的约数，就叫做合数。1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。
6）分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，称为分解质因数。通常我们用短除法来分解质因数。
7）公约数和最大公约数：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
8）互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
9）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
10）求最大公约数和最小公倍数的方法：一般采用短除法。如果两个数中大数是小数的倍数，小数是大数的约数，则大数是它们的最小公倍数，小数是它们的最大公约数。
如果两个数是互质数，则它们的最大公约数是1，最小公倍数是两数相乘所得的积
2、分数、小数的基本性质
1）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
2）小数的基本性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。
3）小数点位置移动引起小数大小变化：小数点向右移动一位，两位，三位……原来的数就扩大10倍，100倍，1000倍……反之，小数点向左移动一位，两位，三位……原来的数就缩小10倍，100倍，1000倍……
第三节数的运算
知识要点 1、四则运算的意义和法则
1）四则运算的意义：
数的 分类
运算名称整数小数分数
加法把两个数合并成一个数的运算。 与整数加法的意义相同。 与整数加法的意义相同。
减法已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 与整数减法的意义相同。 与整数减法的意义相同。
乘法求几个相同加数的和的简便运算。 小数乘整数与整数乘法的意义相同。
一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 分数乘整数与整数乘法的意义相同。
一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。
除法已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 与整数除法的意义相同。 与整数除法的意义相同。
2）四则运算的法则：
加减法的法则：
同单位相加减，单位不变，单位的个数相加减
整数小数分数
1.相同数位对齐；
2.从低位算起；
3.加法中满几十就向前一位进几；减法中不够减时，就从前一位退，退几当几十。 1. 相同数位对齐（小数点对齐）；
2. 从低位算起；
3.按整数加减法进行计算；
4.结果中的小数点和相加减的数里的小数点对齐。 1.同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
2.异分母分数相加减，先通分，然后计算。
3.结果能约分的要约分，是假分数的化成带分数。
乘法、除法的法则：
乘 法整数小数分数
1.从个位乘起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数。
2.用第二个因数哪一位上的数去乘，得数的末位就和第二个因数的哪一位对齐。
3.再把几次乘得的数加起来。 1.按整数乘法法则先求出积。
2.看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 1.分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
2.有整数的把整数看做分母是1的假分数。
3.有带分数的，通常先把带分数化成假分数。
除 法除法是整数的除法：从被除数的高位起，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位。除到哪一位就要把商写在哪一位的上面。
商的小数点和被除数的小数点对齐。 除数是小数的除法：先移动除数的小数点，使它变成整数。
除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘上乙数的倒数。
3）四则运算各部分的关系：
2、运算定律和简便运算
1）运算定律：
加法交换律 a+b=b+a
加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律 a×b=b×a
乘法结合率 a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c
2）运算性质：
减法的运算性质 a－(b+c)=a－b－c a－(b－c)=a－b+c
除法的运算性质 a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c
a+b)÷c=a÷c+b÷c (a－b)÷c=a÷b－b÷c
3、四则运算的顺序
四则运算分为二级。加减法叫做第一级运算，乘除法叫做第二级运算。运算顺序：
在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。
在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。
第二章代数的初步知识
第一节简易方程
知识要点 1、用字母表示数
1）用字母可以表示我们学过的自然数、整数、小数、百分……
2）用含有字母的式子，可以简明地表达数学概念、运算定律和数学计算公式。还可以简明地表达数量关系。
注意：（1）在含有字母的乘法里，乘号可以省略不写或用“?”表示。如：a×x写成ax或a?x。数和数相乘时，乘号不能省略。
2）数字和字母相乘时，可以化简成数字放在最前面。如：a×4×b写成4ab。
3）1与字母相乘时，1省略不写。如：a×1写成a。
2、简易方程
1）等式：表示相等关系的式子叫等式。
2）方程：含有未知数的等式叫方程。
3）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
5）简易方程的解法步骤：①对于只有一步运算的方程，可用加法与减法、乘法与除法的互逆关系求解。对于含有。
二、三步运算的方程，先根据方程确定运算顺序，再根据四则运算的互逆关系求出方程的解。
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