第1讲最值问题。
内容概述。均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．
典型问题。1．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块？
分析与解】方法一：设这4袋为a、b、c、d，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有a、b、c袋糖有块糖．
则当a、b、d三袋糖在一起时，为了满足条件，d袋糖不少于21块，验证a、b、c、d这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．
这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．
方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有，①+得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．
评注：不能把不等式列为，如果这样将①+②得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免，希望大家自己解决。
2．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数abc和一个两位数de，再用o，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数fgh和一个两位数ij．求算式abc×de-fgh×ij的计算结果的最大值．
分析与解】为了使abc×de-fgh×ij尽可能的大，abc×de尽可能的大，fgh×ij尽可能的小．
则abc×de最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为，然后为，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．
则fgh×ij最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．
所以abc×de-fgh×ij的最大值为751×93-468×20=60483．
评注：类似的还可以算出fgh×ij-abc×de的最大值为640×82-379×15=46795．
3．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？
分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我。
们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．
然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．
所以，最小值为312．
4．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？
分析与解】设这个两位数为=loa+b，它们的数字和为a+b,因为loa+b=(a+b)+9a，所以loa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．
特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；
所以当除数a+b不为18，即最大为17时，余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；
余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有，(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；
除数a+b=16时，有9a=15+16m,有(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；
所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．
5．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？
分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：
得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：
但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：
再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：
所以差最大为784．
6. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？
分析与解】设这四个分数为上、、、其中m、n、a、b均为非零自然数)
有+=+则有-=-我们从m=1,b=1开始试验：
我们发现，和分解后具有相同的一项，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：
=+，所以最小的两个偶数和为6+10=16．
7.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
分析与解】13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．
但是我们必须验证看是否有实例符合．
当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：
当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；
当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．
类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．
所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．
第2讲构造与论证1
内容概述。各种**给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题．这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．
典型问题。1.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：
从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：
1)某2堆石子全部取光？
2)3堆中的所有石子都被取走？
分析与解】(1)可以，如(1989，989，89)(1900，900，0)(950，900，950)
50，0，50)(25，25，50)(o，0，25)．
2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．
现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．
2.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：
开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高？
分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．
当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分。由三个人得34分，34÷3=11，推知，必有人得分不超过11分。
也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高。
6.如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数m.求m的最小值并完成你的填图。
分析与解】要使m最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么m就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．
因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×(1+2+3+…+10)=275．
每次和都小于等于朋，所以iom大于等于275，整数m大于28．
下面来验证m=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图。
7.1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人？
分析与解】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处？
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