数学试卷ⅰ
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分。把正确答案填在题中的横线上。
1．已知集合，，则 ．
2．设复数满足（是虚数单位），则= ．
3．已知，且与垂直，则与的夹角是。
4．曲线在处的切线方程为。
5．在等比数列中，已知，，则= ．
6．在中，为边上的中线，，，则的面积 ．
7．将一颗骰子先后随机抛掷两次，设向上的点数分别为，则使关于的方程有整数解的概率为 ．
8．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是。
9．与直线相切，且与圆外切的面积最小的圆的方程为 .
10．若，则= ．
11．已知正数x，y满足：，则的最小值为 ．
12．将一根长为6米的细绳任意剪成3段，则三段长度都不超过3米的概率为 ．
13．设椭圆的方程为，过右焦点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，若在椭圆的右准线上存在点，使为正三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
14．二次函数的系数均为整数，若，且是方程两个不等的实数根，则最小正整数的值为 ．
二、解答题：本在题共6个小题，共90分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分14分）
已知函数．1）求函数的最小正周期；
2）若，求函数的值域．
16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，点是的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
若，求三棱锥的体积．
17．（本小题满分14分）
某公司经销某产品，第天的销售**为（为常数）（元∕件），第天的销售量为（件），且公司在第天该产品的销售收入为元．
1）求该公司在第天该产品的销售收入是多少？
2）这天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？
18．（本小题满分16分）
已知直线：与直线：．
1）当实数变化时，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；
2）若直线通过直线的定点，求点所在曲线的方程；
3）在（2）的条件下，设，过点的直线交曲线于两点(两点都在轴上方)，且，求此直线的方程．
19．（本小题满分16分）
已知函数．1）当时，若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
2）当且时，求证：函数f(x)存在唯一零点的充要条件是；
3）设，且，求证： <
20．（本小题满分16分）
已知数列是各项均为正数的等差数列．
1）若，且，，成等比数列，求数列的通项公式；
2）在（1）的条件下，数列的前和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值；
3）若数列中有两项可以表示为某个整数的不同次幂，求证：数列中存在无穷多项构成等比数列．
数学试卷ⅱ（附加题）
21.【选做题】在下面a、b、c、d四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．
a．选修4－1：几何证明选讲。
本小题满分10分)
如图，是⊙的一条切线，切点为，，都是⊙的割线，已知．求证：
b．选修4—2：矩阵与变换。
(本小题满分10分)
已知矩阵，，试计算：．
c．选修4－4：坐标系与参数方程。
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知曲线：与曲线：交于不同的两点，求的值．
d．选修4—5：不等式选讲。
已知正数a，b，c满足，求证：．
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某校高。一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高。
一、高二获胜的概率分别为．
按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？
若单打获胜得分，双打获胜得分，求高一年级得分的概率发布列和数学期望．
23．过直线上的动点作抛物线的两条切线，其中为切点．
若切线的斜率分别为，求证：为定值；
求证：直线恒过定点．
数学试卷ⅰ答案与评分标准。
一、填空题：
二、解答题：
15．（12分。
6分。所以，函数的最小正周期为8分。
2）因为，所以10分。
所以12分。
所以，所以，函数的值域为14分。
16．⑴设交于，连结．因为为正方形，所以为中点，又因为为的中点，所以为的中位线，所以， …3分。
又因为平面，平面，所以平面．……5分
⑵因为为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，又，所以平面8分。
因为平面，所以平面平面10分。
14分。17．（1）设该公司第天的销售收入为，由已知，第天的销售**，销售量．
所以第天的销售收入，所以．……2分。
第天的销售收入(元4分。
2）由条件得（）…7分。
当时，．当且仅当时取等号），所以，当时取最大值，．…9分。
当时，所以，当时，取最大值为………10分。
当时，．当且仅当时取等号），所以当时，取最大值． 12分。
由于，所以第天该农户的销售收入最大．
答：⑴第天的销售收入为元；⑵第天该公司的销售收入最大，最大值为元14分
18．（1）的方程化为2分。
由题意，解得所以定点的坐标为．……4分。
2）由过定点，得，化简得，所以点所在曲线的方程为8分。
3）因为，所以，且，
所以，所以，所以，所以．……10分。
设，则，由，得，又由。
由①②③解之得所以14分。
所以的方程为16分。
19.（1）当b=1时，.
因为在上为单调递增函数，所有在上恒成立，即在上恒成立，当时，由，得．
设，，当且仅当时，等号成立．
即时，有最小值2，所以，解得．
所有a的取值范围是4分。
当时，，在上单调递减。
当时，，在上单调递增。
综上所述，的单调递减区间为；的单调递增区间为。
充分性：时，在处有极小值也是最小值，即．在上有唯一的一个零点。
必要性：f(x)=0在上有唯一解，且， f(a)=0，即．
令，．当时，，在上单调递增；当时，在上单调递减．，只有唯一解．
在上有唯一解时必有。
综上，在时，在上有唯一解的充要条件是．……10分。
3）不妨设》n>0，则》1，要证<，只需要<，即证》，只需证》0，设，由（1）知，在上是单调增函数，又》1，有》，即》0成立，所以<． 16分。
20．（1）因为又因为是正项等差数列，故。
所以，得或(舍去) ，所以数列的通项公式4分。
2） 因为，令，则， 当时，恒成立，所以在上是增函数，故当时，，即当时，， 要使对任意的正整数， 不等式恒成立，则须使， 所以实数的最小值为10分。
3）因为这个数列的所有项都是正数，并且不相等，所以，设其中是数列的项，是大于1的整数，令，则，故是的整数倍，对的次幂，所以，右边是的整数倍．
所有这种形式是数列中某一项，因此有等比数列，其中16分。
数学试卷ⅱ（附加题）答案与评分标准。
21.【选做题】
a．（1）因为为切线，为割线，所以，又因为，所以，……4分。
2）由（1）有，
又因为，所以 ，所以，又因为，所以，所以10分
b．矩阵的特征多项式为，由，解得或2分。
当时，对应的一个特征向量为，当时，对应的一个特征向量为6分。
从而8分。所以10分。
c．曲线化为直角坐标方程为2分。
曲线化为直角坐标方程为4分。
圆心到直线的距离为6分。
所以10分。
d．因为，所以．……4分。
由柯西不等式，得，则8分。
当且仅当时取等号，此时。……10分。
必做题】22．⑴先安排参加单打的队员有种方法，再安排参加双打的队员有种方法，所以，高一年级代表队出场共有种不同的阵容4分。
的取值可能是．，的概率发布列为。
所以，．…10分。
23．⑴不妨设，．
由，当时，，，所以．同理．……2分。
由，得．同理．
所以，是方程的两个实数根，所以，所以为定值5分。
徐州市2023年高考考前信息卷
数学试卷 一 填空题 本大题共14个小题，每小题5分，共70分。把正确答案填在题中的横线上。1 已知集合，则 2 设复数满足 是虚数单位 则 3 已知，且与垂直，则与的夹角是。4 曲线在处的切线方程为。5 在等比数列中，已知，则 6 在中，为边上的中线，则的面积 7 将一颗骰子先后随机抛掷两次，设向...
徐州市2023年中考考试说明
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