西北农林科技大学本科课程考试。
参***与评分标准。
考试课程：线性代数学年学期：
试卷类型：a 卷考试时间：
专业年级：10级。
一、填空题（每空3分，共15分）
1. 7; 2. 0; 3. 4．为任意实数；5．256二、选择题（每小题3分，共15分。
1．a; 2. d; 3. c; 4. c; 5. b三、证明题 （8分）
证明：设存在使得。
给等式左乘矩阵即那么有。
因此。于是有因为是的一个基础解系，因此线性无关，所以于是有线性无关。
四、计算题（共62分，1-4题每小题8分，5-6题每小题15分）1.计算四阶行列式。
2. 设矩阵求。
解。由分块矩阵求逆可得：若则其中。
求得。因此，
3．设问取何值时，该向量组线性相关，并求该向量组的一个最大线性无关组，将其余向量用该最大无关组线性表示。
解：，显然若则，所以线性相关；
因此该向量组的一个最大无关组为，且。
4．设和都是3阶方阵，为单位阵，,其中求。
解：由题设条件知：，因为显然所以可逆，且。
于是。5．设，求。
1)取何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解；
2)在有无穷多解时，写出通解。
解：因为，若即时，无论取何值，线性方程组有唯一解；
当时，即当时，无论取何值，线性方程组无解；
当时，即当且时，线性方程组无解；
当且时，线性方程组有无穷多解；
于是最简方程组为，则线性方程组的解为向量形式的通解为：为任意实数。
6．设二次型的秩为2.
（1）求参数；，（2）利用正交变换将化为标准形，并写出正交变换；
3）判断正定性。
解：二次型的矩阵。
因为 ，且所以。
由的特征多项式。
求得的特征值。
的属于特征值的特征向量为的属于特征值的特征向量为，的属于特征值的特征向量为，将，单位化得，
令 则有正交变换将二次型。
该二次型为半正定的。
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