2024年高考湖南文科数学试题及全解全析。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的值为【 d 】
abcd．
解：由，易知d正确。
2．抛物线的焦点坐标是【 b 】
a．（2，0） b．（-2，0） c．（4，0d．（-4，0）
解：由，易知焦点坐标是，故选b.
3．设是等差数列的前n项和，已知，，则等于【 c 】
a．13b．35c．49d． 63
解： 故选c.
或由， 所以故选c.
4．如图1， d，e，f分别是abc的边ab，bc，ca的中点，则【 a 】a．b．
c．d图1解： 得，故选a.
或。5．某地**召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 b 】
a．14b．16c．20d．48
解：由间接法得，故选b.
6．平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为【 c 】
a．3b．4c．5d．6
解：如图，用列举法知合要求的棱为：
、、、故选c.
7．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是【 a 】
abcd．解： 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上。
各点处的斜率是递增的，由图易知选a. 注意c中为常数噢。
8．设函数在内有定义，对于给定的正数k，定义函数。
取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 c 】
a ． b． c ． d ．
解： 函数，作图易知，故在上是单调递增的，选c.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9 ．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项。
运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .
解： 设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，故。 注：最好作出韦恩图！
10．若，则的最小值为。
解： ，当且仅当时取等号。
11．在的展开式中，的系数为 6 (用数字作答).
解： ，故得的系数为。
12． 一个总体分为a，b两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。
已知b层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 120 .
解： 设总体中的个体数为，则。
13．过双曲线c：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为a，b，若（o是坐标原点），则双曲线线c的离心率为 2 .
解： ,14．在锐角中，则的值等于 2 ，的取值范围为 .
解： 设由正弦定理得。
由锐角得，又，故，15．如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则。
图2解：作，设，由解得故。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（每小题满分12分）
已知向量。ⅰ）若，求的值；
ⅱ）若求的值。
解：（ⅰ因为，所以。
于是，故。ⅱ）由知，所以。
从而，即，于是。又由知，所以，或。
因此，或 17．（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。求：
i）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
ii）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。
解： 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且
ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率。
p=ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。
p=18．（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱中，ab=4, ,点d是bc的中点，点e在ac上，且dee.
ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）求直线ad和平面所成角的正弦值。
解：（ⅰ如图所示，由正三棱柱的性质知平面。
又de平面abc，所以de.而dee,所以de⊥平面。又de 平面，故平面⊥平面。
（ⅱ）解法 1: 过点a作af垂直于点，连接df.由（ⅰ）知，平面⊥平面，所以af平面，故是直线ad和。
平面所成的角。 因为de，所以deac.而abc是边长为4的正三角形，于是ad=，ae=4-ce=4-=3.
又因为，所以e= =4, ,
即直线ad和平面所成角的正弦值为 .
解法2 : 如图所示，设o是ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是a(2,0,0,),2,0,),d(-1, ,0), e(-1,0,0).
易知=（-3，，-0，-，0），=3，，0）.
设是平面的一个法向量，则。
解得。故可取。于是
由此即知，直线ad和平面所成角的正弦值为 .
19．（本小题满分13分）
已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称。
ⅰ）求b的值；
ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。
解： （因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是
ⅱ）由（ⅰ）知，，.
ⅰ）当c 12时，，此时无极值。
ii）当c<12时，有两个互异实根，.不妨设＜，则＜2＜.
当x＜时，， 在区间内为增函数；
当＜x＜时，，在区间内为减函数；
当时，，在区间内为增函数。
所以在处取极大值，在处取极小值。
因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以。
于是的定义域为。由得。
于是 .当时，所以函数。
在区间内是减函数，故的值域为
20．（本小题满分13分）
已知椭圆c的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点。
为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为q）.
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）设点p是椭圆c的左准线与轴的交点，过点p的直线与椭圆c相交于m,n两点，当线段mn的中点落在正方形q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。
解： （依题意，设椭圆c的方程为焦距为，由题设条件知， 所以。
故椭圆c的方程为 .
ⅱ）椭圆c的左准线方程为所以点p的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。
如图，设点m，n的坐标分别为线段mn的中点为g，由得。
由解得。 …
因为是方程①的两根，所以，于是。
因为，所以点g不可能在轴的右边，又直线，方程分别为。
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为。
即亦即 解得，此时②也成立。
故直线斜率的取值范围是。
21．（本小题满分13分）
对于数列，若存在常数m＞0,对任意的，恒有
则称数列为数列。
ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为b-数列？请说明理由；
ⅱ）设是数列的前n项和。给出下列两组判断：
a组：①数列是b-数列， ②数列不是b-数列；
b组：③数列是b-数列， ④数列不是b-数列。
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
ⅲ)若数列是b-数列，证明：数列也是b-数列。
解： （设满足题设的等比数列为，则。于是。
所以首项为1，公比为的等比数列是b-数列 .
ⅱ）命题1：若数列是b-数列，则数列是b-数列。此命题为假命题。
事实上设=1，，易知数列是b-数列，但=n，.
由n的任意性知，数列不是b-数列。
命题2：若数列是b-数列，则数列不是b-数列。此命题为真命题。
事实上，因为数列是b-数列，所以存在正数m，对任意的，有，即。于是。
所以数列是b-数列。
注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）
(ⅲ)若数列是b-数列，则存在正数m，对任意的有。
因为。记，则有。
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