大连市第21届高等数学竞赛试题b卷答案。
一、填空题（本题共15分，每题3分）
1．设，则当时，是的一阶无穷小量．
2．函数由参数方程确定，则．
3．设函数，则．
4．设，则．
5．由面上的闭合曲线：所围平面图形绕轴旋转一周所得。
立体的体积等于．
二、单项选择题（本题共15分，每题3分）
1．若，则 a ．
a．，；b．，；
2．若函数，且设，则 c ．
a．；b．；
cd．．3．若函数在点处连续，则 a ．
a．；b．；
cd．．4．设函数，其中是有界函数，则在点。
处 d ．a．极限不存在；b．极限存在但不连续；
c．连续但不可导d．可导．
5．已知为常数，且，则a．
a．； b．；
c．； d．．
三、（本题10分）设为正整数，计算定积分．解令，则。原式。
四、（本题10分）求极限．
解原式。五、（本题10分）设为正整数，．证明：
证，数列单调减少．所以，即；
从而，即．六、（本题10分）证明：当时，．证只需证．令，则。
在上可导，且当时，所以在上单调增加；当时，．不等式得证．
七、（本题10分）设函数连续，且，．
求．解，所以，求导，得，化简，得，令，得．八、（本题10分）设函数在区间上可导，且，证明：在内至少有一个，使得．
证由，得，所以存在，使得。
令，则在上可导，且。
由罗尔定理，存在，使得，即。
九、（本题10分）设定义在区间上的函数存在二阶导数，且。
．证明：．证（反证法）假若在上不恒为零，不妨设存在，使得，则在上的最大值应在内取得，从而有最大值点，满足，且；同时，，所以，由极值判别。
定理知应为极小值，这与为最大值相矛盾．从而可知在上不可能。
取得正值．同理可证在上不可能取得负值．
综上，在区间上，．
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