例1.如图所示，半径为r的竖直光滑半圆轨道bc与水平光滑轨道ab在b点连接，开始时可视为质点的物体a和b静止在ab上，a、b之间压缩有一处于锁定状态的轻弹簧（弹簧与a、b不连接）。某时刻解除锁定，在弹力作用下a向左运动，b向右运动，b沿轨道经过c点后水平抛出，落点p与b点间距离为2r。
已知a质量为2m，b质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
1）b经c点抛出时速度的大小？
2）b经b时速度的大小？
3）锁定状态的弹簧具有的弹性势能？
例2.如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线ab齐平，静止放于光滑斜面上，一长为l的轻质细线一端固定在o点，另一端系一质量为m的小球，将细线拉至水平，此时小球在位置c，由静止释放小球，小球到达最低点d时，细绳刚好被拉断，d点到ab的距离为h，之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g.求：
1)细绳所能承受的最大拉力；
2)斜面的倾角θ的正切值；
3)弹簧所获得的最大弹性势能．
解：（1）小球由c到d，机械能定恒。
在d点。由牛顿第三定律，知细绳所能承受的最大拉力为3mg ⑤
（2）小球由d到a，做平抛运动。
（3）小球达a点时。
小球在压缩弹簧的过程中小球与弹簧系统的机械能守恒。
例3.一质量m＝0．2kg的长木板静止在水平面上，长木板与水平面间的滑动摩擦因数μ1＝0．1，一质量m=0．2kg的小滑块以v0＝1．2m/s的速度从长木板的左端滑上长木板，滑块与长木板间滑动摩擦因数μ2＝0．4（如图所示）。[**：
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求⑴经过多少时间小滑块与长木板速度相同？
从小滑块滑上长木板到最后静止下来的过程中，小滑块滑动的距离为多少？（滑块始终没有滑离长木块）
解：(1) 对m：μ2mg=ma2 解得：a2=4m/s2
对m：μ2mg-μ1(m+m)g=ma1
解得：a1=2m/s2
设经历时间为t两者速度相同，则：v0-a2t=a1t
解得：t=0.2s
2)两者共同速度为：v= a1t =0.4m/s
两者相对静止前，小滑块的位移：s1=v0t-a2t2/2=0.16m
达到共同速度后对滑块和木板：μ1(m+m)g=（m+m）a3
滑行位移为：s2=v2/2a3 解得：s2=0.08m
小滑块的总位称为：s=s1+s2=0.24m
例4.如图所示，在磁感应强度为b=0.6t的匀强磁场中，长为0.
5 m、电阻为r=1ω的导体棒ab放置在水平的光滑金属框上，如图所示。导体棒ab在外力作用下以10 m/s的速度向右匀速滑动，已知电容c=2μf，电阻r=6ω，其余电阻忽略不计，求：
1) ab棒哪端的电势高？ab棒中的电动势的大小？
2) ab棒两端的电压？
3)为使ab棒匀速运动，外力的大小及其机械功率？
4) 电容器的电量？
解：（1）由右手定则可知，a端电势较高；
ab棒中的电动势 e=blv=3v
2) 由闭合电路欧姆定律可得。
解得。3）匀速运动时有：
故外力的机械功率
4）电容器的电量q=cu 其中=0.9v 解得
例5．如图，mn、pq两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨距为d。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直轨道平面向上，磁感应强度为b。p、m间所接阻值为r的电阻。
质量为m的金属杆ad水平放置在轨道上，其有效电阻为r。现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离s时，达到最大速度。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。
求：1）金属杆ab运动的最大速度；
2）金属杆ab运动的加速度为时，电阻r上电功率；
3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功。
解：（1）当杆达到最大速度时（1分）
安培力f=bid（1分）
感应电流 （1分）
感应电动势（1分）
解得最大速度（1分）
（2）当ab运动的加速为时。
根据牛顿第二定律（1分）
电阻r上的电功率（2分）
解得（1分）
（3）根据动能定理（2分）
解得（1分）
例6．如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成。其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，其磁感应强度为b，导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r. 另一质量为m，电阻为r的金属棒ab，从圆弧段m处由静止释放下滑至n处进入水平段，圆弧段mn半径为r，所对圆心角为60°，求：
1）ab棒在n处进入磁场区速度为多大？此时棒中电流是多少？
2）cd棒能达到的最大速度是多少？
3）cd棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？
解：（1）ab棒由静止从m滑下到n的过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以到n处速度可求，进而可求ab棒切割磁感线时产生的感应电动势和回路中的感应电流。
ab棒由m下滑到n过程中，机械能守恒，故有：
解得。进入磁场区瞬间，回路中电流强度为
（2）设ab棒与cd棒所受安培力的大小为f，安培力作用时间为 t，ab 棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度v′时，电路中电流为零，安培力为零，cd达到最大速度。
运用动量守恒定律得解得
3）系统释放热量应等于系统机械能减少量，故有。
解得。例7、一半径为r的圆形导线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直于导线框所在平面，导线框的右端通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离为d. 在t=0时，圆形导线框中的磁感应强度b从b0开始均匀增大；同时，有一质量为m、带电量为q的液滴以初速度v0水平向右射入两板间（该液滴可视为质点）.
该液滴恰能从两板间作匀速直线运动，然后液滴在电场强度大小恒定、方向未知、磁感应强度为b1、宽为l的（重力场、电场、磁场）复合场（磁场的上下区域足够大）中作匀速圆周周运动．求：
1）磁感应强度b从b0开始均匀增大时，试判断两极板哪一块为正极板？磁感应强度随时间的变化率k=？
2）（重力场、电场、磁场）复合场中的电场强度方向如何？大小如何？
3）该液滴离开复合场时，偏离原方向的距离。
例8．在光滑绝缘的水平面上，长为2l的绝缘轻质细杆的两端各连接一个质量均为m的带电小球a和b，a球的带电量为＋2q，b球的带电量为－3q（可视为质点，也不考虑两者间相互作用的库仑力）。现让a处于如图所示的有界匀强电场区域mpqn内，已知虚线mp位于细杆的中垂线，mp和nq的距离为4l，匀强电场的场强大小为e，方向水平向右。释放带电系统，让a、b从静止开始运动（忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响）。
求：1）小球a、b运动过程中的最大速度；
2）带电系统从开始运动到速度第一次为零所需的时间。
3）带电系统运动过程中，b球电势能增加的最大值。
例9．如图，直线上方有平行于纸面且与mn成45°的有界匀强电场，电场强度大小为e；mn下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小未知。今从mn上的o点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与mn成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为r。若该粒子从o点进入磁场后第三次经过直线mn后又恰好通过o点。
不计粒子的重力。求：
粒子第三次经过直线mn时的位置；
磁感应强度大小；
粒子从o点出发到再次回到o点所需的时间。
例7．解：（1）2极板为正极板（2分）
由题意可知：两板间的电压u＝ ①1分）
而：s＝πr2带电液滴所受的电场力：f＝ ③1分）
在竖直方向：f－mg＝0 ④ 1分） 由以上各式得 k＝ ⑤1分）
2）液滴在复合场中作匀速圆周周运动，则电场力与重力平衡，所以，电场力方向竖直向上，由题意知该液滴带正电，故电场强度方向竖直向上。（2分） 设匀强电场强度为e，则。
⑥ （1分） （1分）
3）液滴进入复合场后做匀速圆周运动，设运动半径为r，由牛顿第二定律有1分） 由⑦式得： （1分）
讨论：①若r≤l，电子从磁场左边界离开（1分）
由几何关系知偏转距离为 y=2r （1分） 代入数据并整理得 ⑩ 1分）
若r>l，电子从磁场右边界离开 （1分）
由几何关系知偏转距离为 ⑧ 1分）
代入数据并整理得 ⑨ 1分）
例8.解：（1）带电系统开始运动后，先向右加速运动；当b进入电场区时，开始做减速运动。故在b刚进入电场时，系统具有最大速度。（1分）
设b进入电场前的过程中，系统的加速度为a1，由牛顿第二定律：2eq＝2ma1 （1分）
b刚进入电场时，系统的速度为vm，由vm2＝2a1l （1分）可得vm＝（1分）
2）当a刚滑到右边界时，电场力对系统做功为w1＝2eq3l＋（—3eq2l）＝0
故系统不能从右端滑出，a刚滑到右边界时速度刚好为零（1分）。
设b从静止到刚进入电场的时间为t1，则1分）
设b进入电场后，系统的加速度为a2，由牛顿第二定律（2分）
系统做匀减速运动，减速所需时间为t2，则有 （1分）
系统从开始运动到速度第一次为零所需的时间为 （1分）
3）当带电系统速度第一次为零，即a恰好到达右边界nq时，b克服电场力做的功最多，b增加的电势能最多，此时b的位置在pq的中点处1分）
所以b电势能增加的最大值w1＝3eq2l＝6eql2分）
例9.解：粒子的运动轨迹如图，先是一段半径为r的1/4圆弧到a点，接着恰好逆电场线匀减速运动到b点速度为零再返回a点速度仍为v，再在磁场中运动一段3/4圆弧到c点，之后垂直电场线进入电场作类平抛运动。
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