创新学校2011—2012第二学期。
一、填空题 （14小题，每小题5分，满分70分）
1、已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。
2、过抛物线的焦点f作一直线交抛物线交于p、q两点，若线段pf、fq的长分别为p、q，则。
3、求值。4、不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
5、已知函数y=f(x)是奇函数，当时，。设f(x)的反函数是y=g(x)，则。
6、已知函数，那么。
7、方程结果精确到0.1）
8、三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是，则它的体积等于。
9、椭圆的焦点f1、f2，点p是椭圆上动点，当∠f1pf2为钝角时，点p的横坐标的取值范围是。
10、如右图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形）。
11、满足条件且的角的集合为。
12、若两个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为___cm。
13、定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列且，公和为5，那么的值为___且这个数列前21项和的值为。
14、是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：（1），2），（3），（4）。以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题。
二、解答题：本大题共6小题，满分90分。解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。
15.（本题满分14分）
两县城a和b相距20km，现计划在两县城外以ab为直径的半圆弧上选择一点c建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城a和城b的总影响度为城a与城b的影响度之和，记c点到城a的距离为x km，建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比，比例系数为4；对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城a和城b的总影响度为0.065.
1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小？若存在，求出该点到城a的距离；若不存在，说明理由。
16.（本题满分14分）
有一个项数为10的实数等比数列， 表示该数列的前项和。
（1）当时，若成等差数列，求证也成等差数列；
（2）研究当时， 能否成等差数列，如果能，请求出公比；如果不能，并请说明理由。
17.（本题满分15分）
设函数且是奇函数。
（1）求实数的值；
（2）若，且在上的最小值为，求实数的值。
18.（本题满分15分）
如图，过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点p，点a和点b分别为椭圆的右顶点和上顶点，op∥ab．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过右焦点作一条弦qr，使qr⊥ab．若△的面积为，求椭圆的方程．
19.（本题满分16分）
四川汶川抗震指挥部决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.
5米高的复合钢板，两种钢板的**都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的**），每米单价：
彩色钢板为450元，复合钢板为200元。房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元。每套房材料费控制在32000元以内。
（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，所用材料费为，试用表示；
（2）简易房面积s的最大值是多少？并求当s最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
20.（本题满分16分）
已知，函数。
（1）当时，如果函数的最大值为，求的取值范围；
（2）若对有意义的任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）当在什么范围内取值时，方程分别无实根？只有一实根？有两个不同实根？
数学附加题。
21、（选做题）本题包括a、b、c、d四个小题，请选择其中两小题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
a．如图2所示，与是⊙ｏ的直径， ，是延长线上一点，连交⊙ｏ于点，连交于点，若．
求证： b．矩阵变换，已知矩阵，求矩阵m的特征值与特征向量。
c．圆与椭圆有公共点，求圆的半径r的取值范围。
d．解不等式。
22．如图所示在直角梯形oabc中。
点m是棱sb的中点，n是oc上的点，且on：nc=1：3，以oc,oa,os所在直线建立空间直角坐标系。
1) 求异面直线mm与bc所成角的余弦值；
2) 求mn与面sab所成的角的正弦值．
23．盒子中装着有标数字1,2,3,4,5的上卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，按３张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
3）计分不小于２0分的概率．
数学参***。
一、填空。1、解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，
2、分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点p、q，当k变化时pf、fq的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管pf、fq不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。
3、解： ，构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而。
所以可得结果为。
4、解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。
5、解：f(x)是奇函数，设x<0，则。
6、解：本题特征是：
故原式。7、解：由已知，。而，又结果需要精确到0.1，所以当x=2.6时，，故填。
8、 解：设三条棱长分别为，则。
得。9、解：构造圆x2＋y2＝5，与椭圆联立求得交点x02 ＝ x0∈（－
10、解：因四棱柱为直四棱柱，故为在面上的射影，从而要使，只要与垂直，故底面四边形只要满足条件即可。
11、错解：，
检验：根据题意，答案中的不满足条件，应改为；其次，要角的取值注意要用集合表示，故正确的答案为。
12、解：当大长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、6cm时，其对角线长为cm。
当大长方体的长、宽、高分别为5cm、8cm、3cm时，其对角线长为cm。
当大长方体的长、宽、高分别为10cm、4cm、3cm时，其对角线长为cm。
综上，大长方体的对角线最大为cm。
13、解：由定义及已知，该数列为，所以。
14、解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：
二、解答题：本大题共6小题，满分90分。解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。
15. (本小题满分14分)
解法一：（1）如图，由题意知ac⊥bc,其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为。
2）,,令得，所以，即，当时， ,即所以函数为单调减函数，当时， ,即所以函数为单调增函数。所以当时， 即当c点到城a的距离为时， 函数有最小值。
解法二： （1）同上。（2）设，则，所以。
当且仅当即时取”=”
下面证明函数在(0,160)上为减函数， 在(160,400)上为增函数。
设0所以4>4×240×240，9 m1m2<9×160×160所以，所以函数在(0,160)上为减函数。同理，函数在(160,400)上为增函数，所以当m=160取”=”函数y有最小值，所以当时使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小。
16.（本小题满分16分）
解： ⑴当时，由得。则不成等差数列。
当时， 由得。
即也成等差数列
2）当时，如果成等差数列，则由得，当时显然不成立。
当时， ,得到关于的方程。
下面证明上述方程无解：①当时，方程无解；②当时， ,方程无解；③当时， ,方程无解；综上所述：方程无解。
即，假设成等差数列是错误的， 不成等差数列。当时，如果成等差数列，则由得，当时显然不成立；当时， ,得到关于的方程，分解因式得： 或(舍),综上所述：
当时，当，不成等差数列； 当，成等差数列。
17. (本小题满分15分 )
解：（1）∵ 为奇函数。
2即， ∴或（舍去。
令。当时，当时，， 当时，当时，舍去) ∴
18. (本小题满分15分 )
解：（1）∵，op∥ab，∴，解得：b=c．∴，故。
2）由（1）知椭圆方程可化简为．①易求直线qr的斜率为，故可设直线qr的方程为：．②
由①②消去y得：．∴
于是△的面积s==，因此椭圆的方程为，即。
19．（本题满分16分）
解：(1),即。
且 ;由题意可得：
当且仅当取最大值 ;答：简易房面积的最大值为100平方米，此时前面墙设计为米。
20．（本小题满分16分）
解：（1）函数的图像开口向上，函数在或处取得最大值，则，，得：.
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