昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习。
数学试卷（理科） 2012. 4
考生注意事项：
1.本试卷共6页，分第ⅰ卷选择题和第ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．
2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2b铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2b铅笔．
3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．
4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知全集u = r，集合，，则=
a. {b. {c. {d. {
2. 在复平面内，与复数对应的点位于
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限。
3. “是“垂直”的。
a. 充分而不必要条件 b必要而不充分条件 c. 充要条件 d.既不充分也不必要条件。
4.已知直线l：，圆c：，则圆心c到直线l的距离是。
a. 2bcd. 1
5.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有。
a. 0个 b. 1个。
c. 2个 d. 3 个。
6. 某电视台曾在某时间段连续**5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续**也不能在首尾**，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对**顺序的前提下，不同的**顺序共有。
a. 60种b. 120种c. 144种d. 300种
7．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上。
任意一点，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是。
a. 点到平面的距离
b. 直线与平面所成的角。
c. 三棱锥的体积
d.二面角的大小
8. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是。
ab．， cd．，
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．在中，那么角。
10.已知双曲线的方程为，则其渐近线的方程为若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则。
11. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有个。
12. 如图，是⊙的直径，切⊙于点，切⊙于点，交的延长线于点。若，，则。
13. 若变量 x , y满足约束条件表示平面区域m，则当-4时，动直线所经过的平面区域m的面积为。
14. 若对于定义在r上的函数f (x) ,其图象是连续不断的，且存在常数 (r)使得
f (x +)f (x) =0对任意实数x都成立，则称f (x) 是一个“—伴随函数”. 有下列关于“—伴随函数”的结论：①f (x) =0 是常数函数中唯一个“—伴随函数”；②f (x) =x不是“—伴随函数”；③f(x) =x2是一个“—伴随函数”； 伴随函数”至少有一个零点。
其中不正确的序号是填上所有不正确的结论序号）．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题满分13分）
已知向量a b =
ⅰ）当时，求的值；
ⅱ）求的取值范围。
16．(本小题满分13分)
某游乐场将要举行狙击移动靶比赛。 比赛规则是：每位选手可以选择在a区射击3
次或选择在b区射击2次，在a区每射中一次得3分，射不中得0分； 在b区每射中一次得2分，射不中得0分。 已知参赛选手甲在a区和b区每次射中移动靶的概率分别是和。
ⅰ) 若选手甲在a区射击，求选手甲至少得3分的概率；
ⅱ) 我们把在a、b两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在b区射击，求的取值范围。
17.（本小题满分14分）
在正四棱柱中， ,为中点， 为中点。
ⅰ）求证： ；
ⅱ）求证： 平面；
ⅲ) 求平面与底面所成二面角的余弦值。
18．（本小题满分13分）
已知函数r .
ⅰ）当时，求的单调区间；
ⅱ）若在上的最小值为，求的值。
19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆m: ,离心率，椭圆与x正半轴交于点a，直线l过椭圆中心o ，且与椭圆交于b、c两点，b (1,1).
ⅰ) 求椭圆m的方程；
ⅱ）如果椭圆上有两点，使的角平分线垂直于，问是否存在实数使得成立？
20. (本小题满分13分)
实数列，由下述等式定义
ⅰ）若为常数，求的值；
ⅱ）求依赖于和的表达式；
ⅲ）求的值，使得对任何正整数总有成立。
昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习。
数学( 理科)试卷参***及评分标准 2012.4
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)
14注：10,12题第一空2分。
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（ⅰa⊥b2分。
得又4分。即6分。
9分。11分。
13分。16．（本小题满分13分)
解：（ⅰ设“选手甲在a区射击得0分”为事件m,“选手甲在a区射击至少得3分”为事件n,则事件m与事件n为对立事件，2分。
4分。ⅱ) 设选手甲在a区射击的得分为，则的可能取值为0，3，6,9.
所以的分布列为。
设选手甲在b区射击的得分为，则的可能取值为0，2，4.
所以的分布列为。
根据题意， 有13分。
17.（本小题满分14分）
ⅰ）证明：在正四棱柱中。
四边形是正方形，
4分。ⅱ）证明：在正四棱柱中，连结，交于点，连结。
为中点。 为中点，为中点6分。
又。四边形cemf是平行四边形8分。
平面，平面。
平面9分 (ⅲ)解：以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图。
则 ……10分。
平面的法向量为
……11分。
设平面的法向量为。分。则有。
所以。取，得。
13分。平面与平面所成二面角为锐角。
所以平面与底面所成二面角的余弦值为。……14分。
18．（本小题满分13分）
解：（ⅰf (x)的定义域为｛x |｝1分。
………3分。
令，即，∴的增区间为（0，14分。
令，即，∴的减区间为5分。
（ⅱ）当时，在上恒成立，
在恒为增函数。 …6分。
得 ……7分
当时，令，得。
当时， 在上为减函数；
当时， 在上为增函数；
得（舍）……10分。
当时，在上恒成立，此时在恒为减函数。
得 ……12分。
综上可知13分。
19．（本小题满分14分）
解：(ⅰ由题意可知，得 ……2分
在椭圆上解得： …4分。
故椭圆m的方程为4分。
ⅱ）由于的平分线垂直于即垂直于x轴，故直线pb的斜率存在设为k，则qb斜率为 - k，因此pb、qb的直线方程分别为y = k (x-1)+1， y = k (x-1) +1
………6分
由得①由，得8分
点b在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设。
即，同理………10分
即： 向量，则总存在实数使成立。 …13分
20.（本小题满分13分）
解2分。ⅱ）由得 ……3分。
令，所以。所以。
6分 所以7分。
所以。8分。
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