自然数概念的复杂性。
上世纪七十年代开始对新数**动批评后，数概念作为一个复杂概念的理解，有更多的观点相互补充（维特曼(wittmann) 2023年发表；斯坦因(steiner2023年发表；弗赖登塔尔(freudenthal) 2023年发表），非常富有成果。
这些观点相互补充，使数概念在小学的学习进一步形成下面多角度的布局：
1)从有序的角度。
计数：在计数过程中自然数序列它被一直念下去，计数过程可以不涉及被计数的对象而同样实施完。
序数，数用来作为一个全的有序排列中元素的秩的位置的标记。序数的表示方法有两种，一种用文字“第。
一、第二、……表示，另一种是用阿拉伯数字加点“1.，2.，…来表示。
这里数作为回答问题“第几个？”的答案。
2)基数的角度
数被用来作为集合的势的标记（即元素的个数）。
这里数作为回答问题“几个？”的答案，在语言上有时这些基数还会含有名称。
在教学实施时目前国内外教材都提供学生熟悉的环境，几乎让学生同时形成基数与序数的概念。实际上在回答“有几个？”时，学生在计数过程中必须同时运用有序的自然数序列与对应的思想（口中念的数与被数的物件（即集合中的元素）对应起来）。
由于在心理过程上基数与序数几乎是同时进行的，所以在教材编写时一般都有“几个与第几个”这一节，一来为了强调它们之间的关系，二来以突出重点。此外让学生能及时在语言上掌握数词、数字、序数词及之间的关系也是很重要的，要求学生能熟练地数、读、写。
教学实施]
3)算子(变换)即运算的角度
数被用来作为一个行为或一个过程反复出现的（重复数次）的标记，即称为算子。
例如：2重复加3次。
例如：2重复乘3次。
这里数作为回答问题“多少次？”的答案，在语言上算子被理解为数副词（一次，二次，三次）。
教学实施]
4)量的角度（量数、大小）
这个观点与运算与基数有密切的关系，数被用来作为与所选单位有关的表示大小的量数，相关问题是“多大？多长？多重”等等。
量数参与计算时要否同时写上单位名称，在教学界有两种观点。一种是在整个计数过程中都要写上单位名称，这样学生不容易产生将两个不同单位的量数相加，物理与化学教育界常提出这个要求。另一种是在计算结束时才标出单位名称，说是为了减轻负担，不少发达国家认为这是站不住脚的，对学生无益，也不会减轻负担，认为减轻书写上的负担而带来计算过程中思维上的负担。
教学实施]
(5)计算数的角度。
a．代数角度。
自然数的集合生就了与计算程序有关的一个代数结构，在这个结构上根据知道的规则被计算出。
b．算法角度。
自然数可以在位值体系中通过数字排列表达，在这个数字表达中，基本运算程序可以用算法来实施。
学生对计算数经验的积累和概念的形成是建立在位值体系上的，后面有专门的描述。
教学实施]
6)**的角度。
自然数被用作为对象区分与标记（**号码、邮政编码、坐标等）。
教学实施]
上述各种观点之间的统一是通过计数的角度而形成的：如通过计数来编号获得楼座号，通过清点获得集合中元素的数目和行为重复次数，通过用一个单位去截获得一个量的量数和通过继续计数例如获得加法的结果。
在这些不同角度中有趣的是，一些（计数、计算数）与表达数的符号体系有关（如十进制、二进制），而其他的（序数、个数、算子、量数和**）又在不同的应用情节上具有不同的含意。人们要区分前面所说的自然数的符号、语义和句法。
在上述多角度的自然数概念中，序数与基数是最基本的。
自然数的数学根据。
相对于自然数概念不同角度的描绘来说，更重要的是它的数学根据，也就是自然数和它的计算规则的理论依据是什么？这里重要的是要考虑到自然数在集合论中的基础地位（基数），自然数在数值范围中的基础地位（算符）
希腊人曾经把点和线等几何概念作为数学基础，但所有数学命题最终归纳为关于自然数1，2，3……的命题，这一点已变成了现代的指导原则。“上帝创造了自然数，其余是人的工作”这句话中，克隆尼克（指出了数学结构稳固基础的条件就是由人类智慧创造的自然数，它可用来数各种集合中对象的个数，它和对象所有特有的性质无关……。
从这个现代观点出发，自然数本身就是最原始的，我们需要的只是自然数的结构性定义。
有两种定义应该了解，一种是lorenzen定义，另一种是peano定义。
）lorenzen自然数的结构定义。
lorenzen从计数实践出发，在2023年开始用下面的考虑对数符构造结构。
ⅰ）|是一个数符（数码）。
ⅱ）如果数符已被构造，符号也可以被构造。
规则ⅱ的进一步应用导出划记录（strichlisten）的序列：
竖记录）在竖记录之间，人们可以有效地定义一个“相等性”（这里略过）
它引出下列规则，两个竖记录叫相等（人们说，它们意味着同一个数）：假如一个“去竖线”的过程，每一步从两个记录上去掉一竖，两个记录同时耗尽。
首先耗尽的记录称为两个数中较小的一个。
通过下面规则定义加法。
aⅰ) aⅱ)
人们从这归纳地获得对每一个期待的加法问题的结果。例。首先。
然后。一步步。那么每次用到前一行的结果。
相应地乘法通过下面的规则定义：
mⅰ) mⅱ)
）peano dadekind的公理体系。
这个体系是一个计数角度的公理的理解，和通过计数产生的“集合”的理解。抽象地以集合语言为基础。
基本概念是：自然数的集合。
后继映象通过“ˊ”表示。
特殊元素，用1表示。
公理：p1 1是一个自然数。
p2 对每一个数，后继同样是的元素。
p3 对所有，有（1不是任何自然数的后继）。
p4 从推出。
p5 自然数的一个集合，含有数1和任何数的，那么这个集合与相等。
lorenzen竖记录的考虑，提供公理体系的一个模型，假如设置。
所有其它可能的自然数模型与竖记录模型是同构的。
对公理定义的数，可以定义加、减、乘，和大小关系：
分类”的理论背景。
关于分类的活动国内外有很多成功的经验。皮亚杰认为数概念的发展不会早于类（分类结构）的发展，发达国家均将分类放在数概念之前，并将数、数目、序数、序、类概念平行地处理。上世纪九十年代左右德国小学数学教材《数的世界》（上海少儿社）提供了很好的范例，目前国内外新教材均在学生学习数概念时引入了有趣且有益的分类活动。
因为这种活动使学生既产生分类的认识，又开始掌握类的逻辑，国际上最著名的分类逻辑学具是彩色图形片，它是根据颜色（红、黄、蓝、绿）、形状（圆形、三角形、正方形）和大小（大的、小的）而组成的共24片儿童可以从颜色、形状、大小对彩色图形片进行分类。这种分类活动几乎在国际上所有教材中都有。它既能有趣地引导学生分类并建立逻辑，又能为几何基本图形积累经验。
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