计数综合。
教学目标。1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；
2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；
3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；
4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如**法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨：一、排列。
一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．
根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：
步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；
步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；
步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；
由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。
二、组合。一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作。
一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：
第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；
第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．
根据乘法原理，得到．因此，组合数．
这个公式就是组合数公式．
例题精讲：一、排列组合的应用。
例 1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？
1）七个人排成一排；
2）七个人排成一排，小新必须站在中间。
3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间。
4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边。
5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上。
6）七个人战成两排，前排三人，后排四人。
7）七个人战成两排，前排三人，后排四人。 小新、阿呆不在同一排。
例 2】用可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？
巩固】用这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复。
数字的五位数？
巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺。
序排列，则5687是第几个数？
例 3】用、、、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？
巩固】用六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成。
多少个不同的偶数？
例 4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四。
个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？
例 5】两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？
例 6】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间。
里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？
例 7】一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6
个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数？
例 8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至。
第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？
例 9】名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
甲不在中间也不在两端；
甲、乙两人必须排在两端；
男、女生分别排在一起；
男女相间．
巩固】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演。
节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。
例 10】一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：
当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？
巩固】由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱。
节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？
例 11】⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（要。
求列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？
3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？
8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？
一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？
8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？
巩固】现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2
人，分别参加数学、英语、**、美术四个兴趣小组：
1)共有多少种选法？
2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种？
3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种？
4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种？
例 12】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛。
的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次．问：
整个赛程一共需要进行多少场比赛？
例 13】由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这。
样的五位数共有___个。(2024年“迎春杯”高年级组决赛)
例 14】个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？
例 15】8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相。
邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？
例 16】小明有10块大白兔奶糖，从今天起，每天至少吃一块。那么他一共有多少种不同的。
吃法？巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？
巩固】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？
巩固】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？
例 17】某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐。
人，今有个**和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个**陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？
例 18】从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种。
选法？⑴恰有名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；
某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。
巩固】在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人。
医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？
有3名内科医生和2名外科医生；
既有内科医生，又有外科医生；
至少有一名主任参加；
既有主任，又有外科医生。
例 19】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装。
电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？
例 20】有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英。
语、日语都精通．从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？
二、几何计数。
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