六年级奥数行程问题

行程问题（二）

教学目标：1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；

2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”；

4、掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题．

知识精讲：比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：

1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

这里因为时间相同，即，所以由。

得到，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比。

2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

这里因为路程相同，即，由。

得，，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。

行程问题常用的解题方法有。

公式法。即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；

图示法。在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；

比例法。行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；

分段法。在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；

方程法。在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．

例题精讲：模块。

一、时间相同速度比等于路程比。

例 1】甲、乙二人分别从 a、 b 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 b 地和乙到达 a地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 a、 b 两地相距多少千米？

例 2】b地在a，c两地之间．甲从b地到a地去送信，甲出发10分后，乙从b地出。

发到c地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从b地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回b地至少要用多少时间。

例 3】 (圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从、两点出发，甲每分钟行米，乙每分钟行米，出发一段时间后，两人在距中点的处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了分钟，两人将在距中点的处相遇，且中点距、距离相等，问、两点相距多少米？

例 4】甲、乙两车分别从 a、 b 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之。

比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 b 地时，乙离 a地还有 10 千米．那么 a、b 两地相距多少千米？

例 5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往。

乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

例 6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中。

下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。

那么甲乙两地相距多少千米？

模块。二、路程相同速度比等于时间的反比。

例 7】甲、乙两人同时从地出发到地，经过3小时，甲先到地，乙还需要1小时。

到达地，此时甲、乙共行了35千米．求，两地间的距离．

例 8】在一圆形跑道上，甲从 a 点、乙从 b 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 b 点，又过 8 分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？

例 9】上午 8 点整，甲从 a地出发匀速去 b 地，8 点 20 分甲与从 b 地出发匀速去

a地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从 b 地出发时是 8 点几分．

例 10】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下。

坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？

例 11】一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到。

路程的时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？

例 12】 (我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发小时后因故停车小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚小时．若出发小时后又前进公里因故停车小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚小时，那么整个路程为___公里．

例 13】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结。

果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

例 14】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原。

速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？

例 15】一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高，可以比原定时间提前1小时到达；

如果以原速行驶120千米后，再将车速提高，则可以提前40分钟到达．那么甲、乙两地相距多少千米？

例 16】甲火车分钟行进的路程等于乙火车分钟行进的路程．乙火车上午从站。

开往站，开出若干分钟后，甲火车从站出发开往站．上午两列火车相遇，相遇的地点离、两站的距离的比是．甲火车从站发车的时间是几点几分？

模块。三、比例综合题。

例 17】小狗和小猴参加的100米预赛．结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米．小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！

”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？

例 18】甲、乙两人同时从 a地出发到 b 地，经过 3 小时，甲先到 b 地，乙还需要 1

小时到达 b 地，此时甲、乙共行了 35 千米．求 a， b 两地间的距离．

例 19】、、三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市．开车后小时车出了。

事故，和车照常前进．车停了半小时后以原速度的继续前进．、两车行至距离甲市千米时车出了事故，车照常前进．车停了半小时后也以原速度的继续前进．结果到达乙市的时间车比车早小时，车比车早小时，甲、乙两市的距离为千米．

例 20】甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后小时，乙从同地同路同向出发，步行小。

时到达甲于分钟前曾到过的地方．此后乙每小时多行米，经过小时追上速度保持不变的甲．甲每小时行多少米？

例 21】甲、乙两人分别骑车从地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12 分钟。

后丙也骑车从地出发去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙的速度是每小时千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？

例 22】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度。

都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

例 23】一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西米处．一列火车以每小时。

千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？

例 24】如图，点分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距米的、两地顺。

时针方向沿长方形的边走向点，甲点分到后，丙、丁两人立即以相同速度从点出发，丙由向走去，点分与乙在点相遇，丁由向走去，点分在点被乙追上，则连接三角形的面积为平方米．

例 25】如图，长方形的长与宽的比为，、为边上的三等分点，某时。

刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为．他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

练习1.甲、乙两车分别从 a、b 两地出发，在 a、b 之间不断往返行驶，已知甲车的速。

度是乙车的速度的，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，a、b 两地之间的距离等于多少千米？

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