六年级奥数教材

目录。第一讲抽屉放苹果3）

第二讲列举法解题8）

第三讲谈容斥原理13）

第四讲判断与推理17）

第五讲数的奇偶性24）

第六讲立体图形的计算28）

第七讲旋转体的计算36）

第八讲长方体和正方体49）

第九讲简便与巧算59）

第十讲分数、百分数应用题63）

第十一讲工程问题69）

第十二讲包含与排除74）

第十三讲比和比例应用题77）

第十四讲简易一次不定方程82）

第十五讲平面图形的面积84）

第十六讲牛吃草问题90）

第十七讲方阵问题95）

第十八讲立体图形的接、割98）

第十九讲倒推法解题105）

第二十讲对应法解题111）

第二十一讲综合练习一117）

第二十二讲综合练习二122）

第二十三讲综合练习三127）

第二十四讲综合练习四132）

第二十五讲综合练习五137）

第二十六讲综合练习六143）

第二十七讲综合练习七148）

第二十八讲综合练习八152）

第一讲抽屉放苹果。

抽屉放苹果，问题很简单，然而，简单的问题却能变化出很多复杂的数学问题。例如，给你3个苹果，让你把它们放到2个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉至少有2个苹果。这个问题看似简单，但要完全清楚地说明白，就需给出证明。

反证法：如果命题的结论不成立，这就是说，每个抽屉里至少多放1只苹果。于是，2只抽屉里至少共有2只苹果。

而已知有3个苹果放在2个抽屉里，这样与假设相矛盾。以上所证明的数学原理叫“抽屉原理”。基本的抽屉原理认为：

1、如果把x+1个物体放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有不止一个这种物体；

2、把xm+1个物体放到m个抽屉里，那么肯定有一个抽屉里至少有x+1个物体。通俗地可以这样说：“东西多，抽屉少，那么至少有两个东西放在同一个抽屉里。”

例1：任意3个自然数，总有2个自然数的和是2的倍数。

例2：某学校有32名学生是在1月份出生的，那么其中至少有两个学生的生日是在同一天。为什么？

例3：班上有49个人，老师至少拿几本书，随意分给大家，才能保证至。

少有一个同学能得到两本书？

例4：幼儿园买来不少猪、狗、马塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么至少几个小朋友才能保证有两人选的玩具相同。

例5：把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。为什么？

例6：有一个布袋里有红色、黄色、蓝色袜子各10只，问最少要拿多少只才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子。

例7：一个幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具125种。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

例8：从中，任取498个数，其中定有两个数是互质数。

自己练。1、奥林匹克俱乐部四年级有三个班，一天四年级有5个同学在公园里相遇，这五个同学至少有几人是在同一班级？为什么？

2、有红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几只，才能保证有两只是同色的？

3、某校四（1）班学生56人都是同年生的，能否说明至少有2人在同一星期过生日？

4、抽屉里有4支红铅笔和3支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸，一次必须拿几支，才能保证至少有1支蓝铅笔？

5、某校有370位2024年出生的同学，那么其中至少有几个同学的生日是同一天的？

6、在一只箱子里有4种形状相同、颜色不同的小木块若干个，一次最少要取多少块才能保证其中至少有10个木块的颜色相同？

7、学校组织去浏览狼山、江边、南郊公园，规定每人最少去一处，最多去两处游览，那么至少应有多少个同学才能保证有两个同学游览的地方一样？

8、有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球若干个，每个人可以从中任意选择两个，那么需要多少人才能保证至少有4人选的小球颜色相同？为什么？

9、四（2）班共有学生42人开展第二课堂活动，他们从学校大队部借来图书212本，是否有人至少能借到6本或6本以上的图书？

10、把152本书分给17个同学，如果每个同学至少要拿一本书，那么不管怎样分，一定会有两个同学得到的本数相同，为什么？

11、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？

12、在一只箱子里放着红、白、黑三种颜色的手套各6副，如想闭着眼睛从中取出两副颜色不同的手套，问至少要取多少只才能达到要求？

第二讲列举法解题。

例1：甲乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢，如果没有人连胜头两局，谁先胜三局谁赢，问共有多少种可能？

例2：有黄、红、绿、蓝、黑五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？

例3：从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙地可有几种走法？

例4：某月底，甲、乙、丙三人领取了数额不同的奖金，如果甲把自己的一部分资金分给乙、丙两人，使乙、丙两人的奖金数额各增加一倍，然后乙又拿出一部分奖金分给甲、丙两人，使甲、丙两人的奖金数额各增加一倍，接着丙再拿出一部分奖金分给甲、乙两人，使甲、乙两人奖金数额各增加一倍，这时三人的奖金数额都是24元。问甲、乙、丙三人原来各领奖金多少元？

例5：有一张伍元币，4张贰元币，8张壹元币，要拿出8元钱，可以有几种拿法？

例6：某校六年级有甲、乙、丙、丁四个班级开展“纪律”、“卫生”评比竞赛。学校制作了“纪律优胜”和“卫生优胜”两面锦旗，奖给卫生、纪律最好的班级。

想一想，可能出现多少种不同的得奖情况，并叙述你的推理方法。

例7：新学期开学了，10个同学见了面，如果每两个同学都握一次手，那么共握手多少次？

自己练。1、有一个五分币，四个二分币，八个一分币，要取9分钱，有几种取法？

2、一个工人将弹子装进两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完。如果弹子一共99颗，盒子数大于10，这两种盒子各有多少个？

3、从甲村到乙村有三条路可走，从乙村到丙村有两条路可走。问从甲村经乙村到再到丙村有几条不同的路可走？

4、两个人的年龄和是36岁，而各自的年龄数都是质数，他们各自的年龄可能分别是多少岁？

5、从”四张数字卡片中，选三张排成三位数，能排成多少个不同的三位数？其中能同时被动整除的三位数有多少个？能同时被整除的三位数是多少个？

6、用2张一角币，4张五角币可配成多少种不同的钱数？

7、两人同打一靶，各打五枪都命中。成绩都是三十一，红心每人中一枪。其余中环不重复，各枪成绩是多少。我请你来排仔细。

8、某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者，决定收集这条线路上每个车站发售的通往其他各车站的火车票，他一共收集了多少张？

9、有2分、5分和1角的人民币各若干枚，要从中取出0.2元，有多少种取法？

10、甲、乙、丙三人照相，如果乙一定要站在中间，可以照多少张不同的相片？如果没有规定，可照几张不同的**？

11、有糖块144颗，平均分成若干份，每份不得少于是10颗，也不能多于40颗，共有几种分法？

12、从1~100的自然数中，每次取出两个不同的自然数相加，使其和大于100，共有几种不同的取法？

13、今有长度为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的线路各一条，如果以其中的三条作为三边作三角形：

（1）三边中一边为3厘米的三角形有几个？

（2）三边中两边分别是3厘米、4厘米的有几个？

（3）一共可以作几个不同的三角形？

第三讲容斥原理。

在数的计算中，有这样一类问题。如：六（1）班同学在《少年报》和《儿童世界》两种报刊中，至少要订一份。

其中，订阅《少年报》的有25人，订《儿童世界》的有31人，订阅两种报刊的有4人，求六（1）班学生数。要求六（1）班学生数，不能简单地用25+31直接求得，这是因为重复包含的4人加了两次，所以，六（1）班人数应为25+31－4=52（人）。

以上例题告诉我们，这种有重复包含的问题，解题时应考虑排除由于相互包含而多计算的部分。这一原理，我们称为包含排除原理。即容斥原理。

正确运用这一原理，可以帮助我们解答抽象的数学问题。

例1：求50以内5的倍数和7的倍数的数的个数。

例2：在1到500这500个数中，不能被7和9整除的数共有多少个？

例3：某班50个学生，每人至少参加一个兴趣小组，其中有37人参加科技组，25人参加作文组，求同时参加两个兴趣小组的人数相当于全班人数的百分之几？

例4：50名同学参加兴趣小组，参加生物组的40人，参加数学组28

人，两个兴趣小组均参加的有几人？只参加生物组跟只参加数学组人数的比是多少？

例5：一家电维修站，有80%的人精通彩电修理业务，有70%的人精通。

冰箱修理业务，10%的人两项业务都不熟悉，求两项业务都精通的人占总数的百分之几？

例6：全班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中30人喜欢作文，32人喜欢数学，21人喜欢自然，既喜欢作文又喜欢数学的15人，既喜欢数学又喜欢自然的12人，既喜欢作文又喜欢自然的14人，三门都喜欢的有8人，求全班总人数？

例7：某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这个班三项都会的至少有几人？

自己练。1、六（1）班54名学生都订了报纸，其中订阅《儿童报》的有34人，订阅《少年报》的有30人，有多少人订阅了两种报纸？

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