奥数习题。
一】鸡兔同笼:大约在2024年前,《孙子算经》中记载:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
意思是:有若干只鸡和兔同在一个笼子里,数头有35个;数脚有94只。求笼中有鸡和兔各多少只?
①假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成94÷2=47只;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47-35=12(只)。
显然,鸡的只数是35-12=23(只)。
【“砍足法”令古今中外数学家赞叹不已,这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,最终把它归成某个已经解决的问题。】
用“假设法”:假设全部是鸡,头有35个,则脚有35×2=70只,相差94-70=24只,是兔多出的脚,每只兔多2只脚,兔有24÷2=12只,鸡有35-12=23(只)。
用“方程”来解:解设兔头x只,则鸡有35-x只,列式为4x+(35-x)×2=94,x=12,鸡有35-12=23(只)。
【二】牛顿问题:英国科学家牛顿,曾经写过一本数学书。书中有一道有名的、关于牛在牧场上吃草的题目,人们把它称为“牛顿问题”:
“有一牧场,已知养牛27头,6天把草吃尽;养牛23头,9天把草吃尽。如果养牛21头,几天能把牧场上的草吃尽?(并且牧场上的草是不断生长的)”
一般解法是:把一头牛一天所吃的牧草看作1。
(1)27头牛6天所吃的牧草为:27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)
(2)23头牛9天所吃的牧草为:23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)
(3)1天新长的草为:(207-162)÷(9-6)=15
(4)牧场上原有的草为:27×6-15×6=72
(5)每天新长的草足够15头牛吃,21头牛减去15头,剩下6头吃原牧场的草:72÷(21-15)=72÷6=12(天) 所以养21头牛,12天才能把牧场上的草吃尽。
练一练】有一牧场,如果养25只羊,8天可以把草吃尽;养21只羊,12天把草吃尽。如果养15只羊,几天能把牧场上不断生长的草吃尽?
三】鬼谷算:我国汉代有位大将叫韩信,他每次集合部队,只要求部下先后按l~7报数,然后再报告一下各队每次报数的余数,他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法,人们称为鬼谷算,也叫隔墙算,或称为韩信点兵,外国人还称它为“中国剩余定理”。
到了明代,数学家程大位用诗歌概括了这一算法,他写道:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知。” 这首诗的意思是:
用3除所得的余数乘上70,加上用5除所得余数乘以21,再加上用7除所得的余数乘上15,结果大于105就减去105的倍数,这样就知道所求的数了。比如,一篮鸡蛋,三个三个地数余1,五个五个地数余2,七个七个地数余3,篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是:
1×70+2×21+3×15=157,157-105=52(个)
练一练】四皓小学订《中国少年报》若干张,如果三张三张地数,余数为1张;五张五张地数,余数为2张;七张七张地数,余数为2张。四皓小学订《中国少年报》多少张?
四】电灯泡问题:“过道里依次挂着标号是1,2,3, …100的电灯泡,开始它们都是灭的。当第一个人走过时,他将标号为1的倍数的灯泡的开关拉一下;当第二个人走过时,他将标号为2的倍数的灯泡的开关拉一下;当第三个人走过时,他将标号为3的倍数的电灯泡的开关拉一下;……如此进行下去,当第一百个人走过时,他将标号为100 的倍数的灯泡的开关拉一下。
问:当第一百个人走过后,过道里亮着的电灯泡标号是多少?”
此题实质是找每个灯泡的因数个数。第一个灯泡只有因数1,灯亮;第二个灯泡有两个因数,等灭;由此可以看出因数的个数是奇数时,灯亮;因数的个数是偶数时,灯灭。故当第一百个人走过后,过道里亮着的电灯泡标号是.
【五】巧求六位数:“六位数□4321□能被4321整除,这个六位数是多少?”
采用“假设──计算──排错──验证”的方法。
假设六位数为943219,那么943219÷4321=218…1241,由于余数大于9,所以不合题意。
假设六位数为843219,则有843219÷4321=195…64,余数大于9,也不合题意。
假设六位数为743219,则743219÷4321=172…7,余数小于9,可见符合条件的六位数为743219-7=743212。
当六位数的首位数分别为、l时,经计算均不合题意。综上分析,要求的六位数为743212。
练一练】:四位数□89□能被89整除,这个四位是多少?答案:(4895)
六】时钟问题:①“钟面上有时针与分针,每针转动的速度是确定的。” 分针每分钟旋转的速度:
360°÷60=6°,时针每分钟旋转的速度:360°÷(12×60)=0.5°,在钟面上要么是分针追赶时针,要么是分针超越时针。这里的转动角度用度数来表示,相当于行走的路程。
因此钟面上两针的运动相当于典型的追及问题。
例1:钟面上3时多少分时,分针与时针恰好重合?
整3时,分针在12的位置上,时针在3的位置上,两针相隔90°。当两针第一次重合,就是3时过多少分。在整3时到两针重合的这段时间内,分针要比时针多行走360÷12×3=90°,每分钟分针比时针多走6-0.5=5.5(度),所用时间为90÷5.5≈16.36(分)。
例2:在钟面上5时多少分时,分针与时针在一条直线上,而指向相反?
在整5时,时针与分针相隔360÷12×5=150°,然后分针先是追上时针,分针需比时针多行走150°,然后超越时针180°,共150+ 180=330°,分针每分钟旋转的速度:360°÷60=6°,时针每分钟旋转的速度:360°÷(12×60)=0.5°,(150+ 180)÷(6— 0.5)= 60(分) 5时60分即6时正。
例3:钟面上12时30分时,时针在分针后面多少度?
※整12时,分针与时针重合,相当于在同一起跑线上。到12时30分钟,分针走180°到达6时的位置上,而时针在30分钟内也在行走。实际上两针相隔的度数是在30分钟内分针超越时针的度数:
(6—0.5)×30=55×3=165(度)
例4:钟面上6时到7时之间两针相隔90°时,是几时几分?
从6时整作为起点,此时两针成180°。当分针在时针后面90°时或分针超越时针90°时,就是所求的时刻。
180—90)÷(6—0.5) =90 ÷5.5 ≈16.36(分钟)(180+ 90)÷(6— 0.5) =270÷5.5 ≈49.09(分钟)
此题还可采用分率方法来解决]
【七】最优化问题:既要在尽可能节省人力、物力和时间前提下,争取获得在可能范围内的最佳效果,因此,最优化问题涉及统筹、线性规划——排序不等式等内容。
例1:货轮上卸下若干只箱子,总重量为10吨,每只箱子的重量不超过1吨,为了保证能把这些箱子一次运走,问至少需要多少辆载重3吨的汽车?
【分析】因为每一只箱子的重量不超过1吨,所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于2吨,否则可以再放一只箱子。所以,5辆汽车本是足够的,但是4辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如,设有13只箱子,,所以每辆汽车只能运走3只箱子,13只箱子用4辆汽车一次运不走。
因此,为了保证能一次把箱子全部运走,至少需要5辆汽车。
例2: 用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根,至少要用去原材料几根?怎样截法最合算?
【分析】 一个10尺长的竹竿应有三种截法:(1)3尺两根和4尺一根,最省; (2)3尺三根,余一尺;(3)4尺两根,余2尺。为了省材料,尽量使用方法(1),这样50根原材料,可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿,还差50根4尺的,最好选择方法(3),这样所需原材料最少,只需25根即可,这样,至少需用去原材料75根。
例3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数,而且是三个连续偶数,它们个位数字的和是7的倍数,这个三角形的周长最长是多少厘米?
【分析】三角形三边是三个连续偶数,所以它们的个位数字只能是0,2,4,6,8,且它们的和也是偶数,又它们的个位数字的和是7的倍数,只能是14,三角形三条边最大可能是86,88,90,周长最长为86+88+90=264厘米。
例4: 把25拆成若干个正整数的和,使它们的积最大。
分析】先从较小数形开始实验,发现其规律:
把6拆成3+3,其积为3×3=9最大;
把7拆成3+2+2,其积为3×2×2=12最大;
把8拆成3+3+2,其积为3×3×2=18最大;
把9拆成3+3+3,其积为3×3×3=27最大;……
这就是说,要想分拆后的数的乘积最大,应尽可能多的出现3,而当某一自然数可表示为若干个3与1的和时,要取出一个3与1重合在一起再分拆成两个2之和,因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2,其积37×22=8748为最大。
例5: a、b两人要到沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可携带一个人24天的食物和水,如果不准将部分食物存放于途中,问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米(要求最后两人返回出发点)?如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢?
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