江苏省通州高级中学2014-2015学年度第一学期高二数学寒假作业四。
命题：高二数学备课组审核：严东来。
一．填空题：
1．直线到直线的距离是。
答案】42．把命题“”的否定写在横线上。
答案】3．若实数、满足不等式组，则的取值范围为。
答案】4．已知直线l：x－y＋4＝0与圆c：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆c上各点到l距离的最小值为___最大值为___
答案】 35．在平面直角坐标系xoy中，设过原点的直线l与圆c：(x－3)2＋(y－1)2＝4交于m、n两点，若|mn|≥2，则直线l的斜率k的取值范围为___
答案】[0，]
6．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为。
答案】7．已知直线，和平面且，给出下列四个命题：
其中真命题的有___请填写全部正确命题的序号)
答案】①③8．有一段演绎推理：
大前提：整数是自然数；
小前提：是整数；
结论：是自然数。这个推理显然错误，则错误的原因是错误。（从“大前提”、“小前提”、“结论”中择一填写）.
答案】大前提。
9．双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则 ；此双曲线的离心率为 ．
答案】2；．
10．方程＝1表示椭圆，则k的取值范围是___
答案】k＞3
11．设抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点的横坐标为，则。
答案】812．若圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是。
答案】13．在平面直角坐标系中，设直线l：kx－y＋＝0与圆c：x2＋y2＝4相交于a、b两点，，若点m在圆c上，则实数k
答案】k＝±1
14．已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点p引圆o的两条切线，切点分别为a,b，直线ab与x轴，y轴分别交于点m,n，则。
答案】二．解答题：
15．设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
答案】试题解析：.解：设，易知． 6分。
由是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即， (10分)
故所求实数的取值范围是． 12分。
16．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点。
1）求证：平面；
2）求证：平面平面。
试题解析：（1）连交于点， 为中点， ，为中点， ，四边形是平行四边形4分。
又平面，平面， 平面。 7分。
2）由（1）知， ，为中点，所以，所以， 9分。
又因为底面，而底面，所以，则由，得，而平面，且，所以面12分。
又平面，所以平面平面14分。
17．已知长方体，点为的中点。
1）求证：面；
2）若，试问**段上是否存在点使得，若存在求出，若不存在，说明理由。
试题解析：（1）证明：
连结交于点，所以为的中点，连结。
在中，为的中点
4分。面且面。
面7分。2）若**段上存在点得，连结交于点。
面且面 又且面。面。面。
10分。在和中有：
同理：12分。
即**段上存在点有 14分。
18．已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意正整数n,都能使m整除f(n)，猜测出最大的m的值。并用数学归纳法证明你的猜测是正确的。
解析】本试题主要考查了归纳猜想的运用，以及数学归纳法的证明。
f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除。
然后证明n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1 －(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2 (k≥2) 证明得到。解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除
证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1 －(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2 (k≥2) f(k+1)能被36整除。
f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36
19．已知圆：，过定点作斜率为1的直线交圆于、两点，为线段的中点。
1）求的值；
2）设为圆上异于、的一点，求△面积的最大值；
3）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有， 求的最小值，并求取最小值时点的坐标。
试题解析：（1）由题知圆心，又为线段的中点，∴⊥即，∴．
2）由（1）知圆的方程为，∴圆心，半径，又直线的方程是，圆心到直线的距离，．
当⊥时，△面积最大，．
3）∵⊥又，∴．
设，则有，整理得，即点在上，的最小值即为的最小值，由解得。
满足条件的点坐标为．
20．如图，椭圆c0：＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆c1：x2＋y2＝，b(1)求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程；
2)设动圆c2：x2＋y2＝与c0相交于a′，b′，c′，d′四点，其中b【解析】(1)解：设a(x1，y1)，b(x1，－y1)，又知a1(－a，0)，a2(a，0)，则直线a1a的方程为y＝(x＋a)，①直线a2b的方程为y＝(x－a)．②
由①②得y2＝(x2－a2)．③由点a(x1，y1)在椭圆c0上，故＝1.
从而＝b2，代入③得＝1(x<－a，y<0)．
2)证明：设a′(x2，y2)，由矩形abcd与矩形a′b′c′d′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故。因为点a，a′均在椭圆上，所以b2＝b2.
由t1≠t2，知x1≠x2，所以＝a2，从而＝b2，因此＝a2＋b2为定值。
21．如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，的中点．
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求证：平面平面；
ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
试题解析：证明：（ⅰ
取的中点，连结，交于点，可知为中点，连结，易知四边形为平行四边形，所以∥．
又平面，平面，所以∥平面4分。
证明：（ⅱ因为，且是的中点，所以．
因为平面，所以．
所以平面．又∥，所以平面．
又平面，所以平面平面分。
解：（ⅲ如图建立空间直角坐标系，则，,
设平面的法向量为。则。所以。
令。则。设向量与的夹角为，则。
所以直线与平面所成角的正弦值为14分。
考点：1线线平行、线面平行；2线线垂直、线面垂直；3线面角。
寒假作业1 4答案
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