2023年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类。
全国卷ii新课标)
第ⅰ卷。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
答案：c解析：由题意可得，m∩n＝．故选c.
答案：c解析：∵＝1－i，∴＝1－i|＝.
答案：b解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为，先画出l0：
y＝，当z最小时，直线在y轴上的截距最大，故最优点为图中的点c，由可得c(3,4)，代入目标函数得，zmin＝2×3－3×4＝－6.
答案：b解析：a＝π－b＋c)＝，由正弦定理得，则，s△abc＝.
答案：d解析：如图所示，在rt△pf1f2中，|f1f2|＝2c，设|pf2|＝x，则|pf1|＝2x，由tan 30°＝，得。
而由椭圆定义得，|pf1|＋|pf2|＝2a＝3x，，∴
答案：a解析：由半角公式可得，
答案：b解析：由程序框图依次可得，输入n＝4，t＝1，s＝1，k＝2；，k＝3；
s＝，k＝4；，k＝5；输出。
答案：d解析：∵log25＞log23＞1，∴log23＞1＞＞＞0，即log23＞1＞log32＞log52＞0，∴c＞a＞b.
答案：a解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系o－xyz的图像为下图：
则它在平面zox的投影即正视图为，故选a.
答案：c解析：由题意可得抛物线焦点f(1,0)，准线方程为x＝－1.
当直线l的斜率大于0时，如图所示，过a，b两点分别向准线x＝－1作垂线，垂足分别为m，n，则由抛物线定义可得，|am|＝|af|，|bn|＝|bf|.
设|am|＝|af|＝3t(t＞0)，|bn|＝|bf|＝t，|bk|＝x，而|gf|＝2，在△amk中，由，得，解得x＝2t，则cos∠nbk＝，∠nbk＝60°，则∠gfk＝60°，即直线ab的倾斜角为60°.
斜率k＝tan 60°＝，故直线方程为y＝．
当直线l的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y＝，故选c.
答案：c解析：若x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞x0)上不单调，故c不正确．
答案：d解析：由题意可得， (x＞0)．
令f(x)＝，该函数在(0，＋∞上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞故a＞－1时，存在正数x使原不等式成立．
第ⅱ卷。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：0.2
解析：该事件基本事件空间ω＝共有10个，记a＝“其和为5”＝有2个，∴p(a)＝＝0.2.
14．答案：2
解析：以为基底，则，而，.
15．答案：24π
解析：如图所示，在正四棱锥o－abcd中，vo－abcd＝×s正方形abcd·|oo1|＝×oo1|＝，oo1|＝，ao1|＝，在rt△oo1a中，oa＝＝，即，s球＝4πr2＝24π.
16．答案：
解析：y＝cos(2x＋φ)向右平移个单位得，＝cos(2x－π＋而它与函数的图像重合，令2x＋φ－2x＋＋2kπ，k∈z，得，k∈z.
又－π≤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
解：(1)设的公差为d.
由题意，＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.
故an＝－2n＋27.
2)令sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而sn＝(a1＋a3n－2)＝(6n＋56)＝－3n2＋28n.
1)证明：bc1∥平面a1cd；
2)设aa1＝ac＝cb＝2，ab＝，求三棱锥c－a1de的体积．
解：(1)连结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点．
又d是ab中点，连结df，则bc1∥df.
因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1∥平面a1cd.
2)因为abc－a1b1c1是直三棱柱，所以aa1⊥cd.
由已知ac＝cb，d为ab的中点，所以cd⊥ab.
又aa1∩ab＝a，于是cd⊥平面abb1a1.
由aa1＝ac＝cb＝2，得∠acb＝90°，，a1e＝3，故a1d2＋de2＝a1e2，即de⊥a1d.
所以vc－a1de＝＝1.
解：(1)当x∈[100,130)时，t＝500x－300(130－x)＝800x－39 000.
当x∈[130,150]时，t＝500×130＝65 000.
所以。2)由(1)知利润t不少于57 000元当且仅当120≤x≤150.
由直方图知需求量x∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润t不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
解：(1)设p(x，y)，圆p的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
从而y2＋2＝x2＋3.
故p点的轨迹方程为y2－x2＝1.
2)设p(x0，y0)．由已知得。
又p点在双曲线y2－x2＝1上，从而得。
由得。此时，圆p的半径r＝.
由得。此时，圆p的半径。
故圆p的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
解：(1)f(x)的定义域为(－∞f′(x)＝－e－xx(x－2)．①
当x∈(－0)或x∈(2，＋∞时，f′(x)＜0；
当x∈(0,2)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞0)，(2，＋∞单调递减，在(0,2)单调递增．
故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.
2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．
所以l在x轴上的截距为m(t)＝.
由已知和①得t∈(－0)∪(2，＋∞
令h(x)＝(x≠0)，则当x∈(0，＋∞时，h(x)的取值范围为[，＋
当x∈(－2)时，h(x)的取值范围是(－∞3)．
所以当t∈(－0)∪(2，＋∞时，m(t)的取值范围是(－∞0)∪[
综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞0)∪[
请从下面所给的三题中选定一题作答，并用2b铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
解：(1)因为cd为△abc外接圆的切线，所以∠dcb＝∠a.
由题设知，故△cdb∽△aef，所以∠dbc＝∠efa.
因为b，e，f，c四点共圆，所以∠cfe＝∠dbc，故∠efa＝∠cfe＝90°.
所以∠cba＝90°，因此ca是△abc外接圆的直径．
2)连结ce，因为∠cbe＝90°，所以过b，e，f，c四点的圆的直径为ce，由db＝be，有ce＝dc，又bc2＝db·ba＝2db2，所以ca2＝4db2＋bc2＝6db2.
而dc2＝db·da＝3db2，故过b，e，f，c四点的圆的面积与△abc外接圆面积的比值为。
解：(1)依题意有p(2cos α，2sin α)q(2cos 2α，2sin 2α)，因此m(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
m的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
2)m点到坐标原点的距离。
d＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故m的轨迹过坐标原点．
解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
2)因为，故≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.
所以≥1.
2023年新课标2卷解析
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