2023年重庆中考数学25题专题训练。
根据重庆市2023年中考数学考试说明，原来的25题函数综合题降为26题，25题预计是一道阅读理解或是信息迁移题。笔者收集了近年其他省市的阅读理解题目，题型各样，耳目一新，但愿能给即将中考的学子们以帮助。
1. (2009 浙江省湖州市) 若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点。
1） 若点为锐角的费马点，且，则的值为___
2）如图，在锐角外侧作等边′连结′.
求证：′过的费马点，且′=.
2. (2011 甘肃省兰州市) 通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述角的正对定义，解下列问题：
2）对于，的正对值的取值范围是。
3）如图，已知，其中为锐角，试求的值．
3. (2011 浙江省杭州市) 图形既关于点o中心对称，又关于直线ac，bd对称，ac=10，bd=6，已知点e，m是线段ab上的动点（不与端点重合），点o到ef，mn的距离分别为，，△oef与△ogh组成的图形称为蝶形．
1）求蝶形面积s的最大值；
2）当以eh为直径的圆与以mq为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的取值范围．
4. (2012 陕西省) （本题满分10分）
如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
1）“抛物线三角形”一定是___三角形；
2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；
3）如图，是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过、、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
5. (2012 江苏省盐城市) 知识迁移。
当且时，因为≥，所以≥，从而≥ (当时取等号).
记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为。
直接应用。已知函数与函数， 则当___时，取得最小值为。
变形应用。已知函数与函数，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的的值。
实际应用。已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共元；二是燃油费，每千米为元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为。
设该汽车一次运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
6. (2011 江西省乐平市) 某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了**：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形。
结论：在**过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在___个、__个、__个大小不同的内接正方形。
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大。
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小。
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明。
如图，设锐角△abc的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为。若你对本小题证明有困难，可直接用“”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.
7. (2011 山东省青岛市) 问题提出。
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定他们的大小，即要比较代数式m、n的大小，只要作出它们的差m－n，若m－n＞0，则m＞n；若m－n＝0，则m＝n；若m－n＜0，则m＜n．
问题解决。如图①，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和m与两个矩形面积之和n的大小．
解：由图可知，m＝a2＋b2，n＝2ab．
m－n＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
a≠b，∴(a－b)2＞0．
m－n＞0．
m＞n．类比应用。
1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均**分别为元/千克、元/千克(a、b是正数，且a≠b)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均**的高低．
2）试比较图②、图③两个矩形的周长m1、n1的大小(b＞c)．
联系拓广。小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图④所示(b＞a＞c＞0)，售货员分别可按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行**，吻哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？
请说明理由．
8. (2011 四川省眉山市) 如图，在直角坐标系中，已知点、，将点绕点顺时针方向旋转得到点；顶点在坐标原点的抛物线经过点．
1）求抛物线的解析式和点的坐标；
2）抛物线上一动点，设点到轴的距离为，点到点的距离为，试说明；
3）在（2）的条件下，请**当点位于何处时，的周长有最小值，并求出的周长的最小值．
9. (2011 四川省绵阳市) 已知是等腰直角三角形，是腰上的一个动点，过作垂直于或的延长线，垂足为，如图1．
1）若是的中线，如图2，求的值；
2）若是的角平分线，如图３，求的值；
3）结合（1）、（2），请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并**的值能小于吗？若能，求出满足条件的点的位置；若不能，请说明理由．
10. (2011 浙江省宁波市) 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
2）在中，且若是奇异三角形，求；
3）如图是的直径，是上一点（不与点重合），是半圆的中点，在直径的两侧，若在内存在点，使得。
求证：是奇异三角形；
当是直角三角形时，求的度数。
12. (2011 湖北省**市) 请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得．故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为。
2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
13. (2012 甘肃省兰州市) 如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴相交于两点，则线段的长称为双曲线的对径．
1）求双曲线的对径；
2）若某双曲线的对径是，求的值；
3）仿照上述定义，定义双曲线的对径．
14. (2013 黑龙江省大庆市)
对于钝角，定义它的三角函数值如下：
1）求，的值；
2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，a，b是这个三角形的两个顶点，，是方程的两个不相等的实数根，求的值及和的大小。
15. (2013 湖北省黄石市) 如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的**分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由**分割点联想到“**分割线”，类似地给出“**分割线”的定义：
直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的**分割线。
1）如图2，在△中，°，的平分线交于点，请问点是否是边上的**分割点，并证明你的结论；
2）若△在（1）的条件下，如图（3），请问直线是不是△的**分割线，并证明你的结论；
3）如图4，在直角梯形中，，对角线、交于点，延长、交于点，连接交梯形上、下底于、两点，请问直线是不是直角梯形的**分割线，并证明你的结论。
16. (2013 湖北省**市) 定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．
例如：，，1）如果，那么的取值范围是 ．
2）如果，求满足条件的所有正整数．
17. (2013 湖北省咸宁市)
阅读理解：如图1，在四边形的边上任取一点（点不与点、点重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的强相似点。
解决问题：1）如图1，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
2）如图2，在矩形中，，且，，，四边均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的一个强相似点；
拓展**：3）如图3，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处。若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试**和的数量关系。
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